Belirsiz

Bu madde matematikteki tanımsız ifadeler hakkındadır. Tanımsızın diğer anlamları için Tanımsız sayfasına bakınız.

Belirsiz, matematikte tanımı olmayan ifadelere denir. Tanımsız ifadeler olarak da geçer. Bir ifadenin belirsiz olması için tanımlanamaması veya birden çok cevabı olması gerekir. Bu ifadeler şunlardır:

${\displaystyle 0^{0}}$ belirsizliği

${\displaystyle 0^{0}}$ için ${\displaystyle 0^{0}}$=x diyelim. Her iki taraftan ln alırsak ln${\displaystyle 0^{0}}$ = lnx olur. ln özelliğinden 0.ln0=lnx olur. Burada yine 0’ı baz alırsak x=1 olur. ln0’ı baz alırsak ln0 tanımsız olduğundan lnx tanımsız, x ise belirsiz olur.

Örneğin;

• Sayı üzeri sıfır 1 (bir) eder. Örneğin, ${\displaystyle 7^{0}}$ = 1 olur.
• Sıfır üzeri sayı sıfır eder. Örneğin, ${\displaystyle 0^{9}}$ = 0 olur.

Bu durumda ${\displaystyle 0^{0}}$'ın (sıfır üzeri sıfırın) ne olduğuna [0 (sıfır) mı, yoksa 1 (bir) mi olduğuna] karar veremeyiz. Bu sebeple ${\displaystyle 0^{0}}$ (sıfır üzeri sıfır) belirsizdir. Yani değeri belirli değildir. Daha doğrusu 0 (sıfır) hiçliği, yokluğu temsil ettiğinden yokluğun yokuncu kuvvetinin de ne olduğu belirlenememektedir.

${\displaystyle \infty ^{0}}$ belirsizliği

Bir sayının sıfırıncı üssü birdir ve alt alta gelince 1'inci kuvvetle bölünür.

Örnek; ${\displaystyle 3\times 3=9=3^{2}}$ olmaktadır ve eğer bir alt kuvvete gelinirse 3/3=1 olmaktadır.

Sonsuzda denersek

Önceki örnekteki gibi 0'ıncı üs her zaman 1'dir ama Sonsuzda belirsizdir çünkü Sonsuz/Sonsuz=belirsizdir.

${\displaystyle 1^{\infty }}$ belirsizliği

Bir sayının her üssü muhakkak sonsuza ulaşmak zorundadır ve 1'in her üssü 1'dir. Fakat Sonsuz X 0'ın kurallarına bakılınca 1 üzeri sonsuzun hangisi olduğu belirlenemez ve bu nedenle 1 üzeri sonsuz belirsizdir.

${\displaystyle \infty +-\infty }$ belirsizliği

-Sonsuz artı sonsuz belirsiz olduğu için sonsuz artı -sonsuzda belirsizdir.

${\displaystyle -\infty +\infty }$ belirsizliği

Bunun için şöyle bir doğru çizelim ve;

-Sonsuz ile + sonsuz arası 0 oldu.

- sonsuza 1 ekleyince -sonsuz ile + sonsuz arası 1 olur ve aynı şekilde de devam edince 2,3,4 kısaca her sayı aralarında kalabilir ve bu nedenle de -sonsuzun + sonsuz ile toplamı belirsizdir.

${\displaystyle 0\times \infty }$ belirsizliği

Sonsuz çarpı sıfır belirsiz olduğu için sıfır çarpı sonsuz da belirsizdir.

${\displaystyle \infty \times 0}$ belirsizliği

Bunu anlamak için bir sadeleştirme örneği verelim;

${\displaystyle 0 \over 1}$ kesrini sadeleştirelim ve ${\displaystyle 1 \over \infty }$ kesrini bulalım

${\displaystyle 0\times \infty \over 1\times \infty }$ olunca 0'ın 1'e dönüşmesi gerektiği an 1'in sonsuza dönüşmesi gerekir. Yukardaki 2 kesir denk olduğu için Sonsuz çarpı sıfır belirsizdir.

${\displaystyle \infty \over \infty }$ ve ${\displaystyle \infty -\infty }$ belirsizliği

Bunu anlamak için sonsuzla ilgili bir örnek verelim. Sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz reel sayı varken 0 ile 2 arasında da sonsuz adet reel sayı vardır. Bu iki sonsuz eşit değildir. Bunun için sonsuz bölü sonsuz veya sonsuz-sonsuz belirsizdir.

Başka bir örnek, boyutları 1 cm × 1 cm olan bir kâğıtla ${\displaystyle 100\times 100}$ cm² olan bir kâğıttaki nokta sayısı olup her ikisi de sonsuzdur.

${\displaystyle 0 \over 0}$ belirsizliği

Herhangi bir sayıyı kendisine bölündüğünde sonuç genellikle 1 olur. Fakat 0 bölü 0 ne sıfır, ne de 1'dir. Bunun böyle olduğu bölme işleminin tanımından anlaşılır; bölme işlemi, bir sayıdan başka bir sayıyı 0 kalana kadar kaç kere çıkarmak gerektiğini tespit eder. 0 bölü 0'dan sonsuza kadar 0 çıkarılsa hep kendisi kalır. Bu durumda işlemin sonucunu sonsuz denebilir. Ama her 0 çıkartıldığında 0 kaldığından hiçbir şey çıkarılamaz. Yani işlemin sonucu 0 da denebilir ve açık bir çelişki oluşur.

Bu işlemin sonucuna 1 denecek olsa bütün sayıların 0'a eşit olduğu, ${\displaystyle 2+2}$'nin 4 olduğunu ve her şeyin yok olduğu ispatlanabilir.

0'dan farklı bir a sayısı için a/0 tanımsızdır. Açıklaması: a/0 = x olsun. Bölü sıfırı karşı tarafa çarpı sıfır olarak alırsak; a = x . 0 olur. Şimdi burada x yerine bir sayı koyalım ki 0 ile çarpınca a gibi bir sayı olsun. Ancak böyle bir sayı bulamayız. Böyle bir sayı tanımlanmadığı için sayı bölü sıfır tanımsızdır.

0/0 ifadesi ise belirsizdir. Onu da şöyle açıklayalım: Yine 0/0 = x gibi düşünelim ve bölü 0'ı karşıya çarpı sıfır olarak alırsak; 0 = x . 0 olur. Şimdi burada x yerine bir sayı koyalım ki 0 ile çarpılınca sonuç 0 olsun. Görülmektedir ki x yerine herhangi bir sayı yazılabilir. Doğal olarak x yerine yazacağım sayı tanımlıdır ama hangisini yazılacağı belirli değildir. Sonuç olarak sıfır bölü sıfır ifadesi belirsizdir.

Bir sayının sonsuza bölümü

Herhangi bir sayıyı sonsuza bölmeden önce 1'i başka sayılara bölünürse aşağıda görüldüğü gibi bölen sayı büyüdükçe sayı küçülür, yani 0'a yaklaşır. Eğer bölen sonsuz olursa sonuç 0 olur. Sadece 1'i değil, bütün sayıları aslında bir sayı olmayan sonsuza bölünürse sonuç 0 olur. Yani ${\displaystyle \infty \times 0}$ hem 1'e, hem 2'ye, hem … bütün sayılara eşit olabilir. Birden fazla sonucu olan işlemse belirsizdir.