Borel-Cantelli lemması

Olasılık kuramında Borel–Cantelli önermesi olay dizilerine ilişkin bir savdır. Ölçü kuramının bir sonucu olan önerme Émile Borel ve Francesco Paolo Cantelli'ye adanmıştır.

Olasılık uzayları

(E_n) bir olasılık uzayında dizi olmak üzere, E_n'nin olasılıkları toplamı sonlu ise,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty }$

sonsuz sayıda olayın gerçekleşme olasılığı sıfır olarak hesaplanır.

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0}$

Burada, "lim sup" olay dizisinin üst limitini belirtmekte ve her olay bir sonuç dizisi olarak tanımlanmaktadır. lim sup E_n ise sonuçların (E_n) sonsuz olay dizisi içinde sonsuz sayıda gerçekleşmesi olasılığını göstermektedir. Bu olgu

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}}$

biçiminde de ifade edilebilmektedir.

Sav, E_n olaylarının gerçekleşme olasılıkları toplamının sonlu olması durumunda sonsuz kez 'yinelenen' sonuçların oluşturduğu kümenin meydana gelme olasılığının sıfıra eşit olduğunu ortaya koymaktadır. Bu sonuca varmak için herhangi bir bağımsızlık varsayımına gerek duyulmamaktadır.

Örnek

(X_n) her n için Pr(X_n = 0) = 1/n² eşitliğini sağlayan bir rassal değişken dizisi olmak üzere, X_n = 0 ifadesinin sonsuz sayıda n için geçerli olma olasılığı sonsuz sayıda [X_n = 0] olaydan elde edilen bir kesitin gerçekleşme olasılığına eşittir. Burada sözü edilen kesit, her olayda ortak olarak gözlenen sonuçların oluşturduğu bir küme olarak tanımlanmaktadır. Buna karşın, ∑Pr(X_n = 0) dizisinin yakınsak olması (bu dizi π²/6 değerine eşit olan bir Riemann zeta işlevi olarak da görülebilir) sonsuz sayıda olayın her birinde gözlemlenen sonuçlar kümesinin meydana gelme olasılığının sıfır olmasına yol açmaktadır. Bu, X_n = 0 ifadesinin sonsuz sayıda n için gerçekleşme olasılığının 0 olduğunu göstermektedir. X_n'nin sonsuz sayıda n değeri için sıfırdan farklı olduğu neredeyse kesin (1 olasılıklı) olarak söylenebilir.

Genel ölçü uzayları

Borel–Cantelli önermesi genel ölçü uzayları için şu biçimde tanımlanmaktadır:

μ bir X kümesi üzerinde tanımlı bir ölçü ve (A_n) F σ-cebirinde bir dizi olmak üzere

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty }$

koşulu sağlanıyorsa

${\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0}$

eşitliği elde edilir.

Karşıt sonuç

İlk Borel–Cantelli önermesine kısmen karşıt bir sonuç üreten ve zaman zaman ikinci Borel–Cantelli önermesi olarak adlandırılan sav şöyle tanımlanmaktadır:

E_n olayları bağımsızsa ve bu olayların gerçekleşme olasılıkları toplamı ıraksıyorsa bu tür sonsuz sayıda olayın meydana gelme olasılığı 1'dir.

Bağımsızlık varsayımı parçalı bağımsızlığa indirgenebilmektedir, ancak bu durum önermenin kanıtını güçleştirmektedir.

Sonsuz maymun kuramının özel bir durumu olan önerme Rⁿ'de tanımlı bir kapsayıcı sav içermektedir. E_j

${\displaystyle \sum _{j}\mu (E_{j})=\infty }$

koşulunu sağlayan ve Rⁿ'de tanımlı bir tıkız kümenin Lebesgue ölçülü altkümelerinden oluşan bir yığın ise,

${\displaystyle \lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}}$

eşitliğini sağlayan bir F_j dizisi tanımlıdır.^[1]

Eş önerme

Eş Borel–Cantelli önermesi olarak da adlandırılan sav, özgün önermenin üst limitinin 1 olması için gerekli ve yeterli koşulları tanımlamaktadır. Sav, bağımsızlık varsayımını tümüyle değiştirerek ${\displaystyle (A_{n})}$'nin yeterince büyük n değerleri için sürekli artan bir örüntü oluşturduğunu kabullenmektedir. Önerme şöyle özetlenebilir:

${\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}}$ koşulunu sağlayan bir ${\displaystyle (A_{n})}$ tanımlı ve ${\displaystyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$'nın tümleyeni ise, sonsuz sayıda ${\displaystyle A_{k}}$ olayının gerçekleşme olasılığı ancak ve ancak

${\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}|{\bar {A}}_{t_{k}})=\infty }$

koşulunu sağlayan ve sürekli artan bir pozitif tamsayı dizisi tanımlıysa 1'e eşittir.

Notlar

1. Stein, Elias (1993), Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press 

Kaynakça

• Prokhorov, A.V. (2001), "Borel–Cantelli lemma", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/B/b017040.htm 
• Feller, William (1961), An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons 
• Bruss, F. Thomas (1980), "A counterpart of the Borel Cantelli Lemma", J. Appl. Prob. 17: 1094&–1101 

Dış bağlantılar

• Borel–Cantelli önermesinin kanıtı