Engel açılımı

Engel açılımı bir pozitif gerçel sayı x pozitif tamsayıların azalmayan tek dizisidir ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}}$ böylece

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .\;}$

Rasyonel sayıların bir sonlu Engel açılımı varsa, irrasyonel sayıların bir sonlu Engel açılımı neden olmasın?. Eğer x rasyonel ise ve Engel açılımı xın bir Mısır kesiri olarak gösterimini sağlar.Engel açılımı Friedrich Engel adına ithaf edildi, 1913 yılında bunları incelenmiştir.

Bir Engel açılımına analog açılımıdır,içinde negatif terimlerde dalgalanma yapıyorsa,bir Pierce açılımı denir.

Engel açılımları, sürekli kesirler, ve Fibonacci

Kraaikamp ve Wu (2004) gösterdiki bir Engel açılımı bir sürekli kesirin bir çıkan türü olarak yazılabilir:

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}$

Bu iddia Fibonacci bileşik kesir gösterimine başvurmak için göründüğü numeratörler dizisi ve aynı kesir çubuğunu paylaşan paydanın birleştirilmesi bir çıkan sürekli bir bölümünü temsil etmektedir:

Bu inen sürekli kesirle ilgili böyle bir iddia Fibonacci'nin yakın olarak çalışan Liber Abaci (1202)'de var. Bu iddia Fibonacci bileşik kesir gösterimine başvurmak için göründüğü numeratörler dizisi ve aynı kesir çubuğunu paylaşan paydanın birleştirilmesi bir çıkan sürekli bir bölümünü temsil etmektedir:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Eğer tüm nümeratörlerin gösterimi 0 veya 1 gibi,Liber Abacinin birkaç örneği oluşturulursa, bu Engel açılımının bir sonucudur. Ancak, genel teknik olarak Engel açılımı Fibonacci ile açıklanacaktır gibi görünmüyor.

Engel açılımlarının bilgisayar algoritması

x in Engel açılımı şöyle bulunur , Diyelimki

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,}$

ve

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

burada ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ is the tavan fonksiyonu (r den daha az olmayan küçük tamsayı).

Eğer${\displaystyle u_{i}=0}$ herhangi i için, algoritmayı durdurmak şöyledir.

Örnek

1.175'in Engel açılımı şöyle bulunur ,aşağıdaki adımları uygulayın.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;\,}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6\,}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20\,}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0\,}$

seriler burada sonlanır. Böylece,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

ve 1.175in {1, 6, 20}ın Engel açılımıdır .

Rasyonel sayıların Engel açılımları

Her pozitif rasyonel sayının bir tek sonlu Engel açılımı var. Engel açılımı için algoritmada eğer u_i bir rasyonel sayı x/y, ise u_i+1 = (−y mod x)/y dır. Bu nedenle, her adımda, numerator geri kalan kesir içinde u_i azalır ve Engel açılımı inşasının süreci adımlarının bir sonlu sayı ile sonlanması gerekir. Her rasyonel sayının ayrıca tek bir sonlu Engel açılımı var:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

özdeşliğini kullanarak son n sayısı bir sonlu Engel açılımı içinde (n + 1) bir sonlu dizisi tarafından değerini değiştirmeden yerine konulabilir Örneğin

${\displaystyle 1.175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;}$

Bu aslında herhangi kesirli sayı ile bir sonlu onlu sistem gösteriminin analoğudur ayrıca bir sonlu onlu sistemde açılımı var (bak 0.999...). Bir sonlu Engel açılımı bütün terimlerin içinde eşit bir geometrik serisidir.

Erdős, Rényi, ve Szüsz bir x/y rasyonel sayısının sonlu Engel açılımının aşikar olmayan uzunluğunun sınırlarını sorguladı bu soru Erdős tarafından cevaplandırıldı ve Shallit,açılım içindeki terimlerin sayılarını sağlayan O'dır.Herhangi (y^{1/3 + ε}) için ε > 0.^[1]

Bilinen bazı sabitler için engel açılımları

${\displaystyle \pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}\;}$ (OEIS'de A006784 dizisi)

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}\;}$ (OEIS'de A028254 dizisi)

${\displaystyle e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}\;}$ (OEIS'de A000027 dizisi)

Ve genel içinde,

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;}$

Daha da Engel açılımları için katsayılar bulunabilir here.

Açılım terimlerinin büyüme hızı

Engel açılımının a_i katsayılarının tipik gösterim üstel büyüme; Daha doğrusu,hemen hemen tüm (0,1] yarıaçık aralığındaki sayılar için ,limit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}}$ vardır ve e'ye eşittir. Ancak, aralığın altkümesi için durum yeterli hala büyük değil bu Hausdorff boyutudur ve birdir.^[2]

Mısır kesirleri için hızlı algoritma ile türetilen açılımının içindeki terimlere aynı tipik büyüme kesri uygulanabilir . Ancak,(0,1] aralığı içinde gerçel sayıların kümesi whose Engel açılımlar ile kendi hızlı açılımları örtüşerek has sıfır olur, ve Hausdorff boyutu 1/2.^[3]

Notlar

1. Erdős, Rényi & Szüsz (1958); Erdős & Shallit (1991).
2. Wu (2000). Wu ve sonuçlarına göre bu kredi limiti hemen her zaman e ye dir.Janos Galambos.
3. Wu (2003).

Kaynakça

• Engel, F. (1913), Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg, ss. 190–191 .
• Pierce, T. A. (1929). "On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations". Am. Math. Monthly 36 (10): 523–525. JSTOR 2299963. 
• Erdős, Paul; Rényi, Alfréd; Szüsz, Peter (1958), "On Engel's and Sylvester's series", Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 1: 7–32, http://www.renyi.hu/~p_erdos/1958-07.pdf .
• Erdős, Paul; Shallit, Jeffrey (1991), "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series", dergide théorie des nombres de Bordeaux 3 (1): 43–53, DOI:10.5802/jtnb.41, MR 1116100, http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_1991__3_1_43_0 .
• Paradis, J.; Viader, P.; Bibiloni, L. (1998). "Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions". Fib. Quart. 36 (2): 146–153. http://www.fq.math.ca/36-2.html. 
• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), "On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients", Monatshefte für Mathematik 143 (4): 285–298, DOI:10.1007/s00605-004-0246-3 .
• Wu, Jun (2000). "A problem of Galambos on Engel expansions". Acta Arithmetica 92 (4): 383–386. MR 1760244. .
• Wu, Jun (2003), "How many points have the same Engel and Sylvester expansions?", Journal of Number Theory 103 (1): 16–26, DOI:10.1016/S0022-314X(03)00017-9, MR 2008063 .

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Engel Expansion". MathWorld–A Wolfram Web Resource. 13 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20151213065911/http://mathworld.wolfram.com/EngelExpansion.html.