Gauss eğriliği

soldan sağa: bir yüzeyin negatif Gaussian eğriliği (hiperboloid),bir yüzeyin sıfır Gaussian eğriliği (silindir) , ve bir yüzeyin pozitif Gaussian eğriliği (küre).

Diferansiyel geometride,Gaussian eğriliği veya bir noktanın Gauss eğriliği temel eğrilikleri verilen bir yüzeyin iki noktasının κ₁ ve κ₂ çarpımıdır. O bir içsel eğriliğin iç ölçümü, yani onun değeri yalnızca mesafe olarak yüzeyden ölçülendir, onun yolu uzayın içine izometrik gömülü değildir. Bu sonuç Gauss'un Theorema egregiumun içeriğindedir.

Sembolik olarak, tanımlanan Gaussian eğrilik

${\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!}$.

burada κ₁ ve κ₂ ttemel eğriliklerdir.

Resmi olmayan tanımı

semer yüzey ile ilkesel eğriliğin yönü içinde normal yüzey

Bir yüzey üzerindeki herhangi bir noktada, yüzeye dik açı yapacak normal vektör bulabilirsiniz. Yüzeyi ile normal bir düzlemin kesişimini ihtiva eden normal bir bölümü ve bu eğrinin eğimi olarak adlandırılan bir eğri normal eğrilik oluşturacaktır. denir , bu κ₁, κ₂ diyoruz.Gauss eğriliği Κ = κ₁ κ₂ iki temel eğrilikler ürünüdür.

Gauss eğrilik işareti yüzeyi karakterize etmek için kullanılabilir.Her iki asal eğrilikleri aynı işareti ise : κ₁κ₂ > 0 ise,Gauss eğriliği pozitif ve yüzey bir eliptik noktası olduğu söyleniyor.Bu tür noktalarda yüzey lokal teğet düzlemin bir yan yatarken , gibi kubbe olacak . Tüm kesit eğrilikler aynı işareti olacaktır .Asal eğrilikleri farklı belirtileri varsa : κ₁κ₂ < 0 ise Gauss eğriliği negatif ve yüzey bir hiperbolik noktası olduğu söyleniyor.Bu tür noktalarda yüzey eğer şeklinde olacaktır.İki yöndeki kesitsel eğriliklere asimptotik yön veren sıfır olacaktır .Başlıca eğrilik bir sıfır ise : κ₁κ₂ = 0 Gaussien eğriliği,yüzeyin bir noktaya sahip olduğu söylenir.

Çoğu yüzeyleri bir parabolik hat olarak adlandırılan sıfır Gauss eğrilik ile noktanın eğri tarafından ayrılmış negatif Gauss eğriliği pozitif Gauss eğriliği ( eliptik nokta) ve bölgelerin bölge içerecektir .

Daha öte resmi olmayan tartışma

Diferansiyel geometride, bir yüzeyin belirli bir noktada iki asal eğrilikleri şekil operatörü noktasında özdeğerleridir.Bunların yüzey eğimi bu noktada farklı yönlerde farklı miktarlar tarafından ölçülür.Biz, bir fonksiyonu,iki değişkenin f grafiğinin kapalı fonksiyon teoremi ile yüzey olarak gösterebiliriz,bir şekilde p noktası kritik bir noktadır,diğer bir deyişle, f gradyan kaybolur(bu her zaman, uygun bir katı hareketi ile elde edilebilir).Sonra p yüzeyinin Gauss eğriliği f Hessian matrisinin belirleyicisidir.(Hessian özdeğerlerin üründür).(Hessen ikinci türevlerinin 2-ye-2 matris olduğunu hatırlayın.)Bu tanım hemen eyer noktasına "karşıt" fincan/kap arasındaki ayrımı kavramayı sağlar

Alternatif tanımlamalar

Bu ayrıca aşağıdakigibide verilir

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},}$

burada ${\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}}$ kovaryant türev ve g metrik tensördür.

Bir nokta p olarak R³ içinde bir düzgün yüzey ,Gaussian eğriliği ayrıca aşağıdaki ile verilir

${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),}$

burada S şekil operatörüdür.Gaussian eğriliği için bir kullanılabilir formül izotermal koordinatlar içinde Laplasyenin terimleri içinde Liouville'in denklemidir .

Toplam eğrilik

Negatif bir eğrilik yüzeyi üzerindeki bir üçgenin açılarının toplamı bir düzlem üçgeninkinden daha azdır.

Negatif bir eğrilik yüzeyi üzerindeki bir üçgenin açılarının toplamı bir düzlem üçgeninkinden daha azdır bir yüzeyin bazı bölge üzerinde Gauss eğriliğinin yüzey integraline toplam eğrilik denir.Bir jeodezik üçgenin toplam eğriliği onun π açıların toplamından sapmaya eşittir.Negatif bir eğrilik yüzeyi üzerindeki bir üçgenin açılarının toplamı π daha az olacak pozitif bir eğrilik yüzeyi üzerindeki bir üçgenin açılarının toplamı ise, π yi aşacaktır. Bu durum Öklid düzleminde ise sıfır eğrilik olacak yani bir yüzey üzerinde açılar tam π için özetlenecektir.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$

Daha genel bir sonuç Gauss–Bonnet teoremidir.

Önemli teoremler

Theorema egregium

Gauss'un Theorema Egregiumu (Latince: "dikkate değer teoremi "), bir yüzeyin Gauss eğriliği kendisinde yüzeyi uzunluğunun ölçümlerinden tespit edilebilir olduğunu belirtmektedir.Aslında,ilk temel formun tam bilgi verilebilir bulunur ve birinci temel form ve birinci ve ikinci dereceden onun kısmi türevleri ile ifade edilir .Buna denk ,R³ içindeki bir yüzeyin ikinci temel formun belirleyicisi olarak ifade edilebilir.Bu teoremi "Dikkate değer" ve şaşırtıcı şekilde, yapan özelliği,R³ içinde bir S yüzeyi Gauss eğriliğinin tanımı kesinlikle yüzey alanı içinde bulunduğu şekile bağlı olmasıdır , ancak , sonuç ,Gauss eğriliğinin kendisi, çevre uzayı daha fazla bir referans olmadan yüzeyinin içsel metriği ile belirlenir: o bir içsel değişmezdir. Özel olarak, Gauss eğriliği yüzeyinin izometrik deformasyonu altında invaryanttır.Çağdaş diferansiyel geometri , bir "yüzey" , soyut bakışla ,bir iki boyutlu türevlenebilir manifolddur .Yüzeylerin klasik teorisi ile bakışın bu noktasına bağlanmak için , böyle bir soyut yüzey R³ içine gömülü ve ilk temel formda verilen Riemann metrik ile donatılmıştır.Katıştırmanın(gömme) görüntüsü R³ içinde bir S yüzeyi olduğunu varsayalım.Bir yerel isometri bir difeomorfizmdir S ∩ U ya kısıtlama R³ ün açık bölgeleri arasında f: U → V imajını üzerine bir izometridir .Aşağıdaki durum Theorema Egregium'u belirtilmektedir :R³ içinde gömülü pürüzsüz yüzeyin Gauss eğriliği yerel izometriler altında değişmezdir.Örneğin, silindirik tüpün Gauss eğriliği sıfırdır,(Düz olan) " unrolled " tüp için olan ile aynı sıfırdır ve düz bir düzlem sabit eğriliğe 0 vardır diğer yandan yarıçapıR bir kürenin, sabit bir pozitif eğrilik R⁻² ye sahip bulunduğundan düz bir düzlem eğrilik sabiti 0 vardır bu her iki yüzeyler bile yerel olarak izometrik değildir .Bu nedenle,bir kürenin da bir bölümünün bir düzlemsel temsil mesafeleri deforme olmalıdır. Bu nedenle, hiçbir kartografik izdüşüm mükemmel değildir.

Gauss–Bonnet teoremi

Gauss-Bonnet teorem bir yüzeyin toplam eğriliği ile bağlantısına Euler karakteristiği denir ve bir önemli yerel geometrik özellikler ile ve global topolojik özellikler arasında önemli bir bağlantı sağlar.

Sabit eğrilik yüzeyleri

• Minding'in teoremi (1839) aynı sabit eğrilik K ile tüm yüzeyleri yerel izometrik olduğunu belirtiyor.Minding teoreminin bir sonucu olan eğriliki sıfıra özdeş herhangi bir yüzeyin bazı yüzey bölgeyi eğme ile inşa edilebilir olmasıdır.Bu tür yüzeyler geliştirilebilir yüzeyler olarak adlandırılır. Minding ayrıca sürekli pozitif eğrilik ile bir kapalı yüzeylerin mutlaka katı olup olmadığı sorusunu gündeme getirdi.
• Minding'in sorusunu Liebmann'ın teoremi (1900)yanıtladı,sadece düzgün(C² sınıfının),sabit pozitif Gauss eğriliği ile R³ yüzeyleri kapalı küreler vardır.^[1]
• Hilbert'in teoremi (1901) negatif Gauss eğrilik sabitinin R³ içinde (C^ω sınıfı) düzgün yüzeyli tam olmayan analitik normal yüzey var olduğunu belirtiyor.Aslında, sonuç da R³ daldırılmış sınıf C² yüzeyler için de geçerlidir, fakat C¹-yüzeyler için parçalanır.Pseudosphere onun tekil zirvesi dışında sabit negatif Gauss eğriliği var.^[2]

Alternatif formülller

• R³ ikincil ve ilk temel formunun determinantının kesri R³ içindeki bir yüzeyin içinde bir yüzeyin Gaus eğriliği olarak ifade edilebilir:

${\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$

• Brioschi formülü sadece ilk temel formun terimleri içinde Gaussian eğriliği verilir :

${\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}$

• Bir ortogonal parametrizasyon için (yani., F = 0), Gaussian eğriliği:

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$

• Bir fonksiyonun graf olarak tarif edilen bir yüzey için z = F(x, y), Gaussian eğriliği:

${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{2}}}}$

• F(x,y,z) = 0 bir yüzey için Gaussian eğriliği :^[3] dir

${\displaystyle K={\frac {[F_{z}(F_{xx}F_{z}-2F_{x}F_{xz})+F_{x}^{2}F_{zz}][F_{z}(F_{yy}F_{z}-2F_{y}F_{yz})+F_{y}^{2}F_{zz}]-[F_{z}(-F_{x}F_{yz}+F_{xy}F_{z}-F_{xz}F_{y})+F_{x}F_{y}F_{zz}]^{2}}{F_{z}^{2}(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2})^{2}}}}$

• Tek Öklidyen metrik konformal bir yüzeyde,F = 0 ve E = G = e^σ gibidir,(Δ being the usual Laplace operatörü) tarafından verilen Gauss eğriliği :

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma ,}$

• Gaussian eğrilik bir geodezik çemberin çevresi ve düzlemdeki bir çember arasındaki sınırlayıcı farktır:^[4]

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}$

• Gaussian eğrilik bir geodezik disk bölgesi ve düzlem içindeki bir disk arasındaki sınırlayıcı farktır :^[4]

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$

• Gaussian eğrilik belki Christoffel sembolü ile ifade edilebilir:^[5]

${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$

Kaynakça

1. Kühnel, Wolfgang (2006). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3988-8. 
2. Hilbert theorem. Springer Online Reference Works.
3. Gaussian Curvature on Wolfram MathWorld
4. Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
5. Struik, Dirk (1988). Lectures on Classical Differential Geometry. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8. 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Gaussian curvature", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/g043590.htm 
• Curvature in two spacelike dimensions

Ayrıca bakınız

• Kesitsel eğrilik
• Ortalama eğrilik
• Theorema egregium
• Gauss haritası

Şablon:Curvature