Grandi serisi

1 − 1 + 1 − 1 + … sonsuz serisi ya da

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

Grandi serisi olarak adlandırılır. Seri; İtalyan matematikçi, filozof ve papaz Guido Grandi'ye 1703 yılında yaptığı özgün çalışmalardan ötürü adanmıştır. Genel anlamda toplamı olmayan bir ıraksak seri olarak tanımlanan ifadenin Cesàro toplamı ½'dir.

Buluşsal yöntem

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … toplamını hesaplamanın en basit yolu onu bir iç içe seri olarak algılamak ve çıkarma işlemlerini doğrudan gerçekleştirmektir.

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0

Öte yandan, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde toplam, yukarıda elde edilen sonuçla çelişmektedir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi serisini ayraçlar yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem düğüm kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır.

Grandi serisi bir ıraksak geometrik seri olarak ele alındığında ise yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir değer bulunabilmektedir.

S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ve

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S

S = ¹⁄₂

Aynı sonuca −S hesaplanıp sonuç S'den çıkarıldıktan sonra 2S = 1 çözümüyle de ulaşılabilmektedir.^[1]

Seri üzerinde yapılan bu oynamalar bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmamaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de şu iki sonuca ulaşmak olasıdır:

• 1 − 1 + 1 − 1 + … serisinin bir toplamı yoktur.^[1][2]
• ...ancak toplam ¹⁄₂ olmalıdır.^[2]

Her iki ifade doğrulanabilir ve kanıtlanabilir ancak bunu gerçekleştirmek için 19. yüzyılda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadır. Kalkülüsün Avrupa'ya gelişinden 18. yüzyılın sonuna dek geçen süre matematikçiler arasında bu konuda yaşanan "bitmeyen" ve "sert" tartışmalara tanıklık etmiştir.^[3][4]

Geçmişi

Iraksaklığı

Çağdaş matematikte bir sonsuz serinin toplamı onun kısmi toplamları serisinin limiti olarak tanımlanmaktadır. Grandi serisinin kısmi toplamlar kümesi hiçbir sayıya yaklaşmayan 1, 0, 1, 0, … serisidir (0 ve 1 noktalarındaki birikim sayılmazsa). Bu, Grandi serisinin ıraksak olduğunu göstermektedir.

Seri üzerinde yapılan küçük oynamalar (terimlerin yerlerinin değiştirilmesi gibi) seri mutlak yakınsak olmadıkça geçerli işlemler değillerdir çünkü bu tür oynamalar toplam değerini değiştirmektedir. Grandi serisine uygulanan bu tür yöntemlerin yalnızca 0 ve 1 değil, farklı toplam değerlerine yol açtığı bilinmektedir.

Eğitimdeki yeri

Toplanabilirliği

Ayrıca bakınız

• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• Guido Grandi

Notlar

1. Devlin s. 77
2. Davis s. 152
3. Kline 1983 s. 307
4. Knopp s. 457

Kaynakça

• Davis, Harry F. (Mayıs 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 0-7167-6022-3. 
• Kline, Morris (Kasım 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine 56 (5): 307–314. http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28198311%2956%3A5%3C307%3AEAIS%3E2.0.CO%3B2-M. 
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2. 

Dış bağlantılar

• E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series (Cambridge University Press, 1907), 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection
• E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, 4. baskı, (Cambridge University Press, 1962), 2.1