Harmonik seriler
Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.
serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.
Harmonik serinin Iraksaması
Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu serinin ilk 10^43 teriminin toplamı en az 100'dürve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar.
Bu çok sayıda 1⁄2 terimini içeren harmonik serinin sonsuza ıraksadığı açıkça görülüyor. Serinin 2k-inci kısmı toplamı ise
(serisine yakınsıyor) Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı ortaçağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur,ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir. Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi, 1'le sonsuz aralığında 1⁄x integralinden faydalanılır. sadece asal sayılar'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur.
Alternatif yaklaşım
Harmanik serinin toplamına destek için toplamı S ile gösterelim:
kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle
Basitçe ikinci gurubun sonucu
ikinci gurup yerini S 'e bırakır
Bundan faydalanarak
veya sonuç;
Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar,ıraksamaya götürür.
Diğer bir deneme
geometrik seriler ile başlayalım
İki tarafında integrali alınırsa
iki tarafında giderken limitini alırız.
- .
,den dolayı toplarsak
Diğer bir değişle toplam ıraksaktır.
Alterne harmonik serinin yakınsaması
Burada alterne harmonik seri 'nin yakınsaması
Bu eşitlik Mercator serisi'nin bir sonucudur., Taylor serisi'nin doğal logaritmadaki ikizidir, diğer eşitlik
Taylor serisi gösteriminin ters tangent fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.).
Kısmi toplam
- Hn=
serisinde n.nci kısmi toplamı n.nci harmonik sayıyı verir,bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti'ne yakınsar.
Harmonik serinin genelleştirilmesi
Harmonik serinin genel formu
burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır.
P-serisi
p-serisi 'nde p pozitif gerçel bir sayıdır
integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri, p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p)'yi yani,Riemann zeta fonksiyonu'nu verir.