Riemann zeta işlevi

Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Matematikte Riemann zeta işlevi, Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta işlevi(Riemann zeta fonksiyonu) farklı şekillerdede ifade edilse de en yaygın gösterimi

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \;\;\;\;\;\;\;\!}$

şeklindedir. Buradaki s karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.^[1]

Özel değerler

s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

Burada B_2n bir Bernoulli sayısıdır.

Negatif tamsayılar n ≥ 1 için

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

böylece özel olarak ζ içinde negatif çift tamsayılar kaybolur çünkü  1 disinda tüm "m"ler için B_m = 0

pozitif tek tamsayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

1 + 2 + 3 + 4 + · · · ıraksak seriler için sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki string teorisi gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..^[2]

${\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}};\!}$

${\displaystyle \zeta (1/2)\approx -1.4603545\!}$  

Bu doğrusal denklem kinetik kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.^[3]

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!}$

Eğer 1'den çok büyük sayılara yaklaşılıyorsa bu harmonik seridir.Ama onun asıl değeri

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$

Buradaki ${\displaystyle \gamma =0.5772\ldots }$ Euler–Mascheroni sabitidir .

${\displaystyle \zeta (3/2)\approx 2.612;\!}$  

Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması, ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!}$   (OEIS'de A013661 dizisi)

Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?^[4]

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!}$  

Bu Apéry'in sabiti'dir.

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!}$  

Fizikteki Stefan–Boltzmann kanununun türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur

Gösterimler

Mellin dönüşümü

Bir fonksiyon ƒ(x)'in Mellin dönüşümü

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\,dx,}$

olarak tanimlanir bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardir. Eğer s'in gerçek parçası birden daha büyükse,elimizde

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,}$

burada Γ Gama fonksiyonunu ifade eder.sinir değiştirerek, Riemann şunu gösterdi

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{C}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx}$

tüm s için, burada C başlangıç ve +∞'da son sınırlarıdir ve baslangici çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) asal-deger fonksiyonu ise Re(s) > 1değerleri ile

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,dx,}$

Bir benzer Mellin dönüşümü Riemann asal-deger fonksiyonu J(x) içerir, bu degerler asal kuvvet pⁿ ve 1/n'in ağırlığı ile böylece

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}.}$

Şimdi elimizde

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,dx.}$ var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamini sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır,ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulunabilir.

Teta fonksiyonları

Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile Jacobi teta foksiyonunun terimleri içinde resmen verilebilir

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau )}$ ile

${\displaystyle 2\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }\theta (it)t^{s/2-1}\,dt,}$

Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)\\[6pt]&={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }(\theta (it)-1)t^{s/2-1}\,dt.\end{aligned}}}$

Laurent serileri

Riemann zeta fonksiyonu tek s = 1'de tek katli bir tek kutup ile meromorfiktir.Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.}$

γ_n sabitine Stieltjes sabiti deniliyor ve limit ile tanımlanabilir

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\log k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\log m)^{n+1}}{n+1}}\right]}.}$

Sabit terim γ₀ Euler–Mascheroni sabitidir.

Integral

${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ tümü için integral ilişkisi

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {2^{s-1}}{s-1}}-2^{s}\!\int _{0}^{\infty }\!\!\!{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{\pi \,t}+1)}}\,\mathrm {d} t,}$

tutulanlar doğrudur,Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.^[5]

Yükselen faktöriyel

Diğer serileri geliştirmede tam karmaşık düzlem için yükselen faktöryel değeri kullanılan

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta (s+n)-1\right){\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.\!}$'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu x^s−1; Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu baglamda düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına genisletilir.

Hadamard çarpımı

Hadamard ,Weierstrass'ın çarpanlama teoreminin temelinde sonsuz çarpım açılımını verdi

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{(\log(2\pi )-1-\gamma /2)s}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho },\!}$

burada çarpım ζ'nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve yine γ harfi Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir sonsuz çarpım açılımı

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{s/2}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}.\!}$

dır Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde gamma fonksiyonu terimine gereken, ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

Kritik şerit üzerinde logaritmik türev

${\displaystyle {\pi {\frac {dN}{dx}}(x)={\frac {1}{2i}}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}\log(\zeta (1/2+ix))-\log(\zeta (1/2-ix)){\bigr )}-{\frac {2}{1+4x^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+1/2}{(2n+1/2)^{2}+x^{2}}}}}$

burada ${\displaystyle {\frac {dN(x)}{dx}}=\sum _{\rho }\delta (x-\rho )}$ kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır, ve toplam ζ'nin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

Küresel yakınsak seriler

zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar için s değerleris = 1 + 2πinlog(2) dışında bazı n tamsayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}.\!}$

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi, ve genel bilgiler kadar olmadı bu 60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

aynı baskı içindedir.

Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

Uygulamalar

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).

Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.^[6]

Sonsuz seriler

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.^[7] Burada daha öte formüller harmonik sayılar yazısı içindedir

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\infty }(\zeta (n)-1)}$  ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir;   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)={\tfrac {3}{4}}}$   ve   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)={\tfrac {1}{4}}.}$

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}.}$

${\displaystyle 1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}}$   burada γ Euler sabitidir.

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(2({\tfrac {3}{2}})^{n}-3)(\zeta (n)-1)}{n}}.}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}{\mathfrak {I}}((1+i)^{n}-(1+i^{n}))}$   burada ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$  bir karmaşık sayının sanal kısmıni gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={\frac {1}{6}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{4^{2n}}}={\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{8^{2n}}}={\frac {61}{126}}-{\frac {\pi }{16}}({\sqrt {2}}+1).}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (4n)-1)={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Genel Riemann önermesi
• Riemann–Siegel teta işlevi
• Asal zeta işlevi

Notlar

1. Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis - official problem description". Clay Mathematics Institute. 13 Mart 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20120313021631/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf. Erişim tarihi: 05.09.2009. 
2. Polchinski, Joseph (1998). String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. s. 22. ISBN 978-0-521-63303-1. 
3. A J Kainz and U M Titulaer, An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations, pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7, 1992
4. C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9
5. Mathematik-Online-Kurs: Numerik – Numerische Integration der Riemannschen Zeta-Funktion
6. "Dynamical systems and number theory". http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/spinchains.htm. 
7. Unless otherwise noted, the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)

Kaynakça

• Riemann, Bernhard (1859), "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ . Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Yeniden basım: Dover, New York (1953)
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) s. 199–220
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 s. 458–464. (Globally convergent series expression.)
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)
• H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. ISBN 0-486-41740-9. 
• G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford. 
• A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X. 
• A.A. Karatsuba; S.M. Voronin (1992). The Riemann Zeta-Function. W. de Gruyter, Berlin. 
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9.  10. Bölüm
• Donald J. Newman (1998). Analytic number theory. 177. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2.  6. Bölüm
• E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function. Oxford University Press. 
• Jonathan Borwein, David M. Bradley, Richard Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. App. Math. 121: s. 11. http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf. 
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Math. 142: s. 435–439. DOI:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYH-451NM96-2&_user=10&_coverDate=05%2F15%2F2002&_alid=509596586&_rdoc=17&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5619&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1. 
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. 125: s. 2543–2550. DOI:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. http://www.ams.org/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/home.html. 
• Jonathan Sondow, "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
• Jianqiang Zhao (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. 128: s.1275–1283. http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-99-05398-8. 
• Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s. 3–72: 1–27

Dış bağlantılar

• Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi
• Seçili kökler tablosu
• 1.000.000 kök içeren dosya
• Çekiştirilen Asal Sayılar Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
• Zeta İşlevinin X-Işını zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
• Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri
• Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları