Hausdorff-Young eşitsizliği

Matematik'te, Hausdorff−Young eşitsizliği q ≥ 2 için bir periodik fonksiyon'un Fourier katsayısı'nın L^q-norm sınırıdır.William Henry Young 1913'te q nun bazı özel değerleri için eşitsizliği sağladı, ve Felix Hausdorff 1923'te genelleştirdi.Daha genel olarak eşitsizlik aynı zamanda Fourier dönüşümü bir yerel kompakt grup bir fonksiyonu, için de geçerlidir örneğin Rⁿ ve bu durumda Babenko (1961) ve Beckner (1975) Babenko-Beckner eşitsizliği denilen bir keskin formu verdi.

Fourier işlemcisi'ni dikkate alırsak, yani diyelimki T bir fonksiyonun işlemcisi olarak alınsın ${\displaystyle f}$ birim çember olarak ve çıkışlar Fourier katsayılarının dizisidir

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-inx}f(x)\,dx,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\dots .}$

Parseval teoremi şunu gösterir T sınırı ${\displaystyle L^{2}}$ dan ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ya birlikte norm 1 dir. Diğer taraftan,açıkça,

${\displaystyle |(Tf)(n)|=|{\widehat {f}}(n)|=\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-int}f(t)\,dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|\,dt}$

burada bu nedenle T den sınırlanmış ${\displaystyle L^{1}}$ için ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ile norm 1 dir.Bunu elde etmek için Riesz-Thorin teoremi çağrılabilir,herhangi bir 1 < p < 2 için T ,bir operatör olarak ${\displaystyle L^{1}}$ için ${\displaystyle \ell ^{q}}$ norm 1 ile sınırlanmıştır,

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Bir kısa formül içinde,şöyle söylenebilir

${\displaystyle \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|^{q}\right)^{1/q}\leq \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{p}\,dt\right)^{1/p}.}$

p > 2 için Hausdorff–Young eşitsizliği olarak iyi bilinen bu eşitsizliğin doğal çıkarımı başarısız, ve ${\displaystyle L^{p}}$ ye ait bir işlev olması Fourier serisinin büyüme derecesinin üzerine herhangi bir ek bilgi vermez

${\displaystyle \ell ^{2}}$ içindedir.

En iyi tahminler

Hausdorff–Young eşitsizliğine dahil sabitle Harmonik Analiz teorisi dikkatli kullanılarak en iyi tahminler yapılabilir.Eğer ${\displaystyle f\in L^{p}}$ için ${\displaystyle 1<p\leq 2}$ ise en uygun sınır

${\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{L^{q}}\leq p^{1/2p}q^{-1/2q}\|f\|_{L^{p}}}$'dir.

burada ${\displaystyle p}$ nin Hölder eşleniği

${\displaystyle q=p/(p-1)}$'dir

Kaynakça

• Babenko, K. Ivan (1961), "An inequality in the theory of Fourier integrals", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 25: 531–542, ISSN 0373-2436, Şablon:MathSciNet  English transl., Amer. Math. Soc. Transl. (2) 44, pp. 115–128
• Beckner, William (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics. Second Series 102 (1): 159–182, DOI:10.2307/1970980, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970980, Şablon:MathSciNet 
• Hausdorff, Felix (1923), "Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen", Mathematische Zeitschrift 16: 163–169, DOI:10.1007/BF01175679 
• Young, W. H. (1913), "On the Determination of the Summability of a Function by Means of its Fourier Constants", Proc. London Math. Soc. 12: 71–88, DOI:10.1112/plms/s2-12.1.7