Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Hurwitz teoremi, Alman matematikçi Adolf Hurwitz'in ispatladığı ve bu yüzden onun ismini almış önemli bir sonuçtur. Genel bir şekilde ifade etmek gerekirse, Hurwitz teoremi karmaşık düzlemdeki bir bölge üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisinin sıfırları ile bu dizinin limiti olan fonksiyonun sıfırlarını ilişkilendirir.

Teoremin ifadesi ve kanıtı

Hurwitz teoreminin değişik kaynaklarda yaygın iki ifadesi mevcuttur:

İfade 1: ^[1] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ de D üzerinde tanımlı, her bir öğesi D üzerinde sıfır olmayan bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun (Yani, ${\displaystyle f_{k}(z)\neq 0\ \forall z\in D,\forall k\in \mathbb {N} }$). Eğer bu dizi D nin her tıkız altkümesinde bir ${\displaystyle f\ }$ fonksiyonuna düzgün yakınsak ise, o zaman ya ${\displaystyle f\equiv 0}$ 'dır ya da ${\displaystyle f\ }$ 'nin D üzerinde sıfırı yoktur.

Kanıt: Varsayalım ki ${\displaystyle f,\ }$ D üzerindeki her noktada 0 olmasın (yani sıfır fonksiyonu olmasın) ama D 'nin en az bir noktasında da 0 değerini alsın. Diyelim ki bu nokta P olsun; yani ${\displaystyle f(P)=0\ }$ olsun. Bir çelişki elde etmemiz lazım. İlk önce gözlemlemiz gereken ${\displaystyle f\ }$ 'nin de holomorf olacağıdır; çünkü ${\displaystyle f\ }$ holomorf fonksiyonların tıkız altkümeler üzerindeki düzgün yakınsadığı bir fonksiyondur. O yüzden, D üzerindeki herhangi bir noktada ${\displaystyle f\ }$'nin türevini almakta sakınca yoktur.

Öyle bir r>0 seçelim ki P merkezli ve r yarıçaplı kapalı daire D 'nin içinde kalsın ve aynı zamanda ${\displaystyle f\ }$ de bu kapalı daire üzerinde P noktasından başka bir yerde 0 değerini almasın. Böyle bir r bulabiliriz: Evvela, D bir bölgedir ve bu yüzden açık ve bağlantılı bir kümedir. Aynı zamanda, holomorf fonksiyonların sıfırları korunmalı noktalardır. Şimdi,

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta -P|=r}{\frac {f'(\zeta )}{f(\zeta )}}d\zeta }$

ifadesi ${\displaystyle f\ }$'nin P'deki sıfırının mertebesini verecektir. Yani varsayımımız üzerine en az 1 olacaktır. Diğer taraftan, her k için ${\displaystyle f_{k}\ }$ sıfır değerini almadığı için

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta -P|=r}{\frac {f_{k}'(\zeta )}{f_{k}(\zeta )}}d\zeta }$

ifadesi Cauchy integral teoremi sayesinde 0'a eşit olacaktır. Ancak, aynı zamanda en son yazdığımız bu integral ${\displaystyle k\to \infty }$ iken ilk yazdığımız integral ifadesine yakınsayacaktır; çünkü ${\displaystyle {|\zeta -P|=r}}$ tıkız bir kümedir ve bu küme üzerinde teoremin varsayımı gereği ${\displaystyle f_{k}\to f}$ ve ${\displaystyle f'_{k}\to f'}$ düzgün yakınsamaları vardır. İkinci yazdığımız her k için 0'a eşitti ve ilk yazdığımız ifade de 1'den büyüktü. Bu bir çelişkidir. O zaman teorem doğrudur.

İfade 2: ^[2] D karmaşık düzlemde bir bölge olsun. ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ de D üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar dizisi olsun ve bu dizi de D üzerinde tanımlı bir ${\displaystyle f\ }$ fonksiyonuna yakınsasın. Eğer ${\displaystyle f\equiv 0,}$ ${\displaystyle \ {\overline {B(a;R)}}\subset D}$ ve ${\displaystyle \ |z-a|=R}$ üzerinde ${\displaystyle f\neq 0}$ ise, o zaman öyle bir ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} ^{+}}$ vardır ki her ${\displaystyle \ k\geq N\ }$ için ${\displaystyle f\ }$ ve ${\displaystyle f_{k}\ }$ 'nin ${\displaystyle \ B(a;R)}$ içinde aynı sayıda sıfırı vardır.

İkinci ifadenin kanıtı da birinci kanıta benzer olarak yapılabilir.

Örnekler

İlk ifadenin örneği olarak ${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {e^{z}}{n}}}$ alabiliriz. Üstel fonksiyon 0 değerini almadığı için her n için dizinin fonksiyonları sıfır olmaz ve bu dizinin ${\displaystyle n\to \infty }$ iken yakınsadığı fonksiyon ${\displaystyle 0}$ fonksiyonudur.

İkinci ifadede, alınan dairenin sınırında ${\displaystyle f\neq 0}$ koşulu önemlidir. Mesela, birim daire üzerinde

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}}}$

fonksiyonları ${\displaystyle z=1-{\frac {1}{n}}}$ noktalarında 0 değeri alır. Ancak, bu fonksiyonların yakınsadığı ${\displaystyle f(z)=z-1}$ fonksiyonunun birim daire üzerinde sıfırı yoktur.

Notlar

1. Greene, Robert E. ve Krantz, Steven G., Function Theory of One Complex Variable, AMS, 3. baskı, sf.169, 2006.
2. Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Springer, 2. baskı, sf.152, 1978.