Sıfır (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı, veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır.^[1] Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Sıfırın derecesi

Eğer f holomorf fonksiyonu, a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak

$f(z)=(z-a)g(z)\,$

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a 'ya f 'nin basit sıfırı veya derecesi 1 olan sıfırı adı verilir. Bu tanım genelleştirilebilir: Eğer a noktasında sıfır değeri almayan holomorf bir g fonksiyonu kullanılarak, holomorf bir f fonksiyonu

$f(z)=(z-a)^ng(z)\,$

şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman a, f 'nin derecesi n olan sıfırıdır. Bu terimler bu halleriyle kesin bir kullanıma sahip değildirler. Sıfırlarından bahsedilen holomorf bir fonksiyon varsa, a, n'yinci dereceden bir sıfırdır demekle f'nin a noktasındaki sıfır derecesi n'dir demek verilen tanıma denk gelen ifadelerdir. Bir değişkenli holomorf bir f fonksiyonun sıfırlarının oluşturduğu $Z_{f}$ kümesine F 'nin sıfır kümesi adı verilir; yani $Z_{f}=\{a\in\mathbb{C}: f(a)=0\}$.

Sıfırların varlığı ve özellikleri

Karmaşık düzlemdeki holomorf bir polinomun sıfırlarının varlığını kanıtlayan teorem cebirin temel teoremidir. Bu durum, gerçel sıfırlar gözönüne alındığında doğru olmayabbilri. Örneğin, f(x) = x² + 1 fonksiyonu her ne kadar gerçel katsayılara sahipse de, bu fonksiyona sıfır değerini aldıracak gerçel bir kök bulunmamaktadır.

Polinomlar için geçerli bu durum karmaşık düzlemdeki tüm fonksiyonlar için geçerli olmayabilir. Mesela, her tam fonksiyon sıfıra sahip olmayabilir. Buna basit bir örnek olarak karmaşık üstel fonksiyon verilebilir. Üstel fonksiyon, karmaşık düzlemde, 0 değeri hariç her değeri sonsuz kere alır. Ancak, sabit olmayan bir tam fonksiyonun almadığı değer sayısı da Picard teoreminin sayesinde en fazla 1 olabilir.

Belli noktalarda, sonlu veya sonsuz sayıda, sıfıra sahip bir fonksiyon oluşturmak içinse Blaschke çarpımları kullanılır. bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki açık bir alt kümesindeki sıfır sayısını bulmak için ise genelde Rouché teoremi kullanılır. Karmaşık analizin sıfırları ilgilendiren önemli teoremleri arasında Jensen formülü ve Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi de vardır.

Bir değişkenli holomorf fonksiyonların sıfırları hakkındaki önemli bir özellik, bu sıfırların korunmalı olmasıdır. Yani, f 'yi sıfır yapan bir a karmaşık sayısı etrafında öyle küçük bir daire bulanabilir ki bu daire içindeki tüm noktalar arasından sadece a f 'yi sıfır yapar. Bu korunmalı özellik durumu, tek karmaşık değişkenli holmorf fonksiyonlar için geçerlidir. Daha fazla karmaşık değişkene sahip holmorf fonksiyonların bu özelliği yoktur.

Ayrıca bakınız

• Kök (karmaşık analiz)
• Kutup (karmaşık analiz)
• Hurwitz teoremi (karmaşık analiz)
• Rouché teoremi

Not ve kaynaklar

1. Kök terimi daha çok polinomlar bahis konusu olduğunda kullanılmaktadır.

• Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Conway, John (1995). Functions of One Complex Variable II. Springer. ISBN 0-387-94460-5.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Root (MathWorld)
• Sıfırlar ve Kutuplar modülü, John H. Mathews tarafından