Picard teoremi

Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve biricikliği hakkındaki teoremi görmek için Picard varlık teoremine bakınız.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi (Pikar teoremi olarak okunur) analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Teoremlerin ifadesi

Küçük Picard

"Küçük Picard" adı da verilen ilk teorem, tam bir f(z) fonksiyonunun görüntü kümesinin ya tüm karmaşık düzlem ya da karmaşık düzlemin bir noktası hariç hepsi olduğunu ifade eder.

Bu teorem, Picard tarafından 1879 yılında kanıtlanmıştır. Sabit olmayan bir tam fonksiyonun görüntü kümesinin sınırsız olacağını ifade eden Liouville teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir.

exp(1/z) 'nin, esaslı tekillik olan z=0 noktası merkezli çizimi. z noktasının renk özü exp(1/z 'nin karmaşık argumentini temsil etmektedir. Parlaklık ise aynı fonksiyonun mutlak değerini göstermektedir. Bu çizim, esaslı tekilliğe yaklaştıkça, sıfır olmayan bütün değerlerin alındığını gösterir.

Büyük Picard

"Büyük Picard" adı da verilen ikinci teorem, eğer f(z) 'nin w 'da esaslı tekilliği varsa, w 'yu içeren herhangi bir açık kümede f(z) 'nin en fazla bir değer hariç olmak üzere tüm değerleri sonsuz kere alacağını ifade eder.

Bu teorem de f 'nin görüntü kümesinin karmaşık düzlemde yoğun olacağını ifade eden Weierstrass-Casorati teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir.

Notlar

• 'İstisna noktası' her iki teoremde de gereklidir: e^z]] tam fonksiyondur, hiçbir zaman 0 olmaz, e^1/z 'nin 0 'da esaslı tekilliği vardır ama yine de 0 değerini almaz.
• "Büyük Picard", meromorfik fonksiyonlara da uygulanan biraz daha genel biçimiyle doğrudur: Eğer M, Riemann yüzeyiyse, w, M üzerinde bir nokta ise, P¹C = C∪{∞} Riemann küresini gösteriyorsa ve f : M \ {w} → P¹C , w noktasında esaslı tekilliği olan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f, M 'nin w 'yu içeren herhangi bir açık kümesinde, P¹C 'nin en fazla iki noktası hariç tüm değerleri sonsuz kere alır.

Örneğin, f(z)=1/(1-exp(1/z)) 'nin z = 0 'da esaslı tekilliği vardır ve ∞ değerini 0 'ın herhangi bir komşuluğunda sonsuz kere alır; ancak hiçbir zaman 0 ve 1 değerlerini almaz.

• Bu genelleştirmeyle beraber, "Küçük Picard" "Büyük Picard"dan çıkarılabilir çünkü bir tam fonksiyon ya polinomdur ya da fonksiyonun sonsuzda esaslı tekilliği vardır.
• Bernhard Elsner'in son zamanlardaki bir hipotezi (Ann. Inst. Fourier 49-1 (1999) s.330) "Büyük Picard" ile ilgilidir: ${\displaystyle D-\{0\}}$ karmaşık düzlemde delikli birim disk olsun ve ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$, ${\displaystyle D-\{0\}}$ 'ın sonlu açık bir kapsanışı olsun. Her ${\displaystyle U_{j}}$ üzerinde bir holomorf ${\displaystyle f_{j}}$ fonksiyonunun var olduğunu varsayalım öyle ki her ${\displaystyle U_{j}}$n${\displaystyle U_{k}}$ kesişimi üzerinde ${\displaystyle df_{j}=df_{k}}$ olsun. O zaman, ${\displaystyle D}$ birim diski üzerinde diferansiyeller birleşerek bir meromorfik 1-form oluştururlar. (Kalıntının sıfır olduğu özel durumda, hipotez Picard teoremiyle çözülebilir.)

Kaynakça

• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer, 2nci baskı, 1978, ISBN 0-387-90328-3

Ayrıca bakınız

• Picard-Lindelöf teoremi, adi diferansiyel denklemlerle ilgili alakasız bir teorem.