Meromorf fonksiyon

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” (μέρος) ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” (ὅλος) kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

D üzerindeki her meromorf fonksiyon, pay ve paydası D üzerinde holomorf olan ve paydası sabit bir şekilde 0 olmayan rasyonel bir fonksiyon şeklinde yazılabilir. Bu halde kutup noktaları, paydanın sıfır olduğu yerde olmaktadır.

Gama fonksiyonu tüm karmaşık düzlemde meromorftur.

Yani sezgisel olarak, meromorf fonksiyon iki tane güzel (yani holomorf) fonksiyonun oranıdır. Bu tür bir fonksiyon, orandaki paydanın sıfır olduğu ve bu yüzden fonksiyonun sonsuz değerleri aldığı noktalar dışında hala güzeldir.

Cebirsel bakış açısıyla, eğer D bağlantılıysa, o zaman meromorf fonksiyonlar kümesi holomorf fonksiyonların tamlık bölgesinin kesirler cismidir. Bu ilişki rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ ile tamsayılar kümesi $\mathbb{Z}$ arasındaki ilişkiye denktir.

Riemann yüzeylerinde meromorf fonksiyonlar

Bir Riemann yüzeyi üzerindeki her noktanın karmaşık düzlemin açık bir kümesine izomorf (eşyapılı) olan açık bir komşuluğu vardır. Bu sebeple, meromorf fonksiyon fikri her Riemann yüzeyi için de tanımlanabilir.

D tüm bir Riemann küresi olduğu zaman, her meromorf fonksiyon küre üzerinde rasyonel olduğu için, meromorf fonksiyonlar cismi karmaşık cisim üzerindeki bir değişkenli rasyonel fonksiyonlar cismi olur. (Bu GAGA prensibi denilen ifadenin özel bir durumudur.)

Her Riemann yüzeyinde, meromorf bir fonksiyon, Riemann küresine gönderilen ve sabit ∞ olmayan holomorf bir fonksiyonla aynıdır. Kutuplar burada ∞ 'a gönderilen karmaşık sayılara karşılık gelir.

Tıkız olmayan bir Riemann yüzeyinde, her meromorf fonksiyon iki tane holomorf fonksiyonun bölümü şeklinde yazılabilir. Tersine, tıkız bir Riemann yüzeyinde sabit olmayan meromorf fonksiyonlar bulmak mümkünken, her holomorf fonksiyon sabittir.

Elliptik eğriler üzerindeki meromorf fonksiyonlar aynı zamanda elliptik fonksiyonlar olarak da bilinirler.

Daha yüksek boyutlar

Çoklu karmaşık değişkenlerde, meromorf fonksiyonlar yerel olarak iki holomorf fonksiyonun bölümü olarak tanımlanırlar. Mesela, f(z₁,z₂)=z₁/z₂ iki boyutlu karmaşık afin uzayda meromorf bir fonksiyondur. Burada, artık, her meromorf fonksiyonu Riemann küresi üzerinde değerleri olan holomorf fonksiyon şeklinde anlamak doğru değildir: İki eşboyutu olan bir "belirsizlik" kümesi vardır (verilen örnekte bu küme (0,0) 'dan oluşmaktadır).

Bir boyuttakilerin aksine, daha yüksek boyutlarda sabit olmayan meromorf fonksiyonların bulunmadığı, çoğu karmaşık simit gibi, karmaşık manifoldlar bulunmaktadır.

Kaynakça

• Lang, Serge (1999), Complex analysis (4th bas.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3