Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir.

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.

Kanıt

Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$

Buradaki $a_k$ terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)

$a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta$

olarak yazılır (C_r, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan

$| a_k | \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1} |} \,d\zeta \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ M }{ r^{k+1} } \,d\zeta \leq \frac{M}{r^k},$

tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için a_k = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a₀ olur ve teorem kanıtlanmış olur.

Sonuçlar

Cebirin temel teoremi

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.

Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse

$h = \frac{f}{g}\cdot$

fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g⁻¹(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g⁻¹(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin ^a/_b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır.

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir.^[1] Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir.^[2]

Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = ¹/_{(f(z) - w)} fonksiyonunu tanımlayalım.

$(\forall z\in\mathbb{C}):|g(z)|=\frac1{|f(z)-w|}<\frac1r$

olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur.

Notlar

{∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zⁿ gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zⁿ| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım:

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$

Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

$(\forall k\in\mathbb{N}):|a_k|\leqslant Mr^{n-k}$

eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise

$|a_k|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}Mr^{n-k}=0$

olur. Bu yüzden, a_k = 0 elde edilir.

Kaynakça

1. Joseph Liouville, Leçons sur les fonctions doublement périodiques, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, C. 88, sf. 277-310, 1879, ISSN 0075-4102
2. Augustin Louis Cauchy, Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, Mémoires sur les fonctions complémentaires, Seri 1, C. 8, Gauthiers-Villars, Paris, 1884.

Dış bağlantılar

• PlanetMath'teki Liouville Teoremi ve kanıtı
• MathWorld'deki Liouville Teoremi bilgisi
• Liouville Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından