İntegral geometri

matematikte, integral geometri uzayın simetri gruplarının değişmezliği altında bir geometrik uzay üzerinde ölçülerin teorisidir.Daha yeni zamanlarda, fonksiyonlar uzayındaki değişmez dönüşümler (veya eşdeğişir)diğer bir geometrik uzay üzerindeki fonksiyonlar uzayı olan geometrik uzayın görüntüsü içeriğine anlamı genişletildi. Dönüşümler integral dönüşümlerinin formu gibi sıklıkla Radon dönüşümü olarak alınabilir ve onun genellemeleridir.

Klasikleşmiş bağlam

İntegral geometri ilk olarak geometrik olasılık kuramının bazı ifadelerinin rafine bir girişimi olarak ortaya çıkmıştır.Erken çalışma Luis Santaló ve Wilhelm Blaschkein su bağıntısi içinde idi;Bir düzlemdeki eğrinin uzunluk ifadesi Crofton'un klasik teoreminden aşağıda bir rastgele çizgi ile kesişiminin sayısının bir beklentisi olarak ifade edilir . Burada 'rastgele' kelimesi uygun simetri konularına özne olarak yorumlanmalıdır.

Burada düzlem hareketi bir afin grup üzerinde çizgilerin bir örnek uzayıdır.Bir olasılık ölçüsü , simetri grubu altında değişmez alan üzerinde çalışıyor. Eğer,bu durum içinde,biz buna essiz değişmez gibi bir ölçü bulabilirsek, bu 'rastgele çizgi'nin anlamınin tam olarak formülasyonu problemin çözüm formülasyonudur; ve beklentiler bu ölçü ile ilgili integral olur. (unutmadan örnek için 'Bir dairenin rastgele kirişi' ifadesi bazı paradoksların inşasına kullanılabilir.)

Bunun için bu algı ile (Kolmogorov tarafından aksiyomlaştırılmış olarak) Klein'ın Erlangen programı bağlamında integral geometriye olasılık teorisinin uygulamaları diyebiliriz.Teorinin konuları değişmezin (tercihen tıkız) Lie gruplarınîn homojen uzayları üzerinde değişmezlik ölçüsünün bir etkinliğidir (düzgün); ve diferansiyel formların integralinin evrimi ile ortaya çıkar.

Çok ünlü durumlardan biri Buffon'un iğnesi problemidir: plakalardan yapılmış bir zemin üzerinde bir toplu iğne ve iğnenin bir çatlak boyunca yatıyor olma olasılığını hesaplamak. Genel olarak, bu teori geometri ile ilgili rastgele süreçler çeşitliliğine ve insidans soru insidanslarına uygulanır.Bak rassal geometri.

integral geometrinin bu formu içinde çok ilgi çekici teoremlerden biri Hadwiger teoremidir.

integral geometrinin daha yeni bir anlamı Sigurdur Helgason'un ve Israel Gelfand'a aittir. O olasiligin daha özelleşmiş integral dönüşümler ile Radon dönüşümü üzerindeki modeldir. Burada geometrik sıklık ilişkisi(Crofton'un durumu içinde,çizgiler üzerinde yatırılmış noktalar) daha özgür bir ışık içinde görülüyor bir integral dönüşümü için sıklığı grafik üzerine geri çekme ve öğleyse ilerletmek olarak düzenlendi.

Kaynakça

• Shushurin, S.F (2001), "Integral geometry", Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/I/i051470.htm