Jirovektör uzay

Bir jirovektör uzay, Öklid geometrisi kullanılan vektör uzayları'na benzer şekilde hiperbolik geometri eğitimi için Abraham A. Ungar'e tarafından önerilen matematiksel bir kavramdır.^[1] Ungarın jirogruplar yerine jirovektörler kavramını tanıttığı grupların tabanına ek var. Ungar hızlarının bileşimlerini temsil etmek için Lorentz dönüşümleri kullanımına alternatif olarak özel görelilik formülasyonu için bir araç olarak kavramını geliştirdi boostlar denilen "boostlar"ın göreli hızlarının yönleri vardır, ve "öteleme" ile birleştirme olmamalıdır,ayrıca boostlar denir). Bu "jiro operatörlerin" tanıtılması ile elde edilir, iki 3d hız vektörleri 3d hızı üzerinde etkili bir operatör, oluşturmak için kullanılır.

Lorentz dönüşümleri (Lorentz grubu ve Poincaré grubu'na bakınız), matematiksel olarak daha basit olan ve dolayısıyla genel rölativistik fizik tercih edilen bir grubu oluşturmaktadır.

Giriş

Bir 'jirovektör uzay hiperbolik geometri eğitimi için Abraham A. Ungar tarafından önerilen ve Öklid geometri'de kullanilan vektör uzayına benzer bir kavramdır.^[1] Gruplarına taban eklenen vektörlerin yerine jirogrup tabanlı eki olan jirovektörler kavramınin tanıtimidir

İsim

Jirogrupların zayıf-ilişkisel-grupsu yapısı vardır.Ungarın önerdiği jirogrup terimi komutatif-gruplar ile karşı gurupların benzerliği içinde jirokomutatif olmayan durum için jirogrup terimi ile ona bir jirokomutatif-jirogrup yeri ayrılmış olmasıdır.jirogruplar bir Bol döngüsü türüdür.jirokomutatif jirogruplar K-döngülere eşdeğerdir^[2] Bruck döngüsü terimi,farkli tanimlanmis olmasina ragmen^[3] terimleri ve dyadic symset^[4] ayrıca kullanılıyor.

Jirovektör uzayının matematiği

Jirogruplar

Aksiyomlar

Bir grupoid (G, ${\displaystyle \oplus }$) bir jirogrup tur, Eğer ikili işlem aşağıdaki aksiyomlar uygunsa:

1. G içinde burada en az bir öge 0 bir soldaki özdeşlik ile tüm a ∈ G için 0${\displaystyle \oplus }$a = adır
2. Her a ∈ G için burada bir G içindeki ${\displaystyle \ominus }$a ögesi ${\displaystyle \ominus }$a${\displaystyle \oplus }$a = 0 ın bir sol tersi denir .
3. Herhangi G içindeki a, b, c için burada bir tek öge gyr[a, b]c var.G öyleki sol jiroilişkisel kurala uygun ikili işlemi : a${\displaystyle \oplus }$(b${\displaystyle \oplus }$c) = (a${\displaystyle \oplus }$b)${\displaystyle \oplus }$gyr[a, b]c
4. c → gyr[a, b]c ile verilen gyr[a, b]:G → G haritası groupoid (G, ${\displaystyle \oplus }$)in bir otomorfizmasıdır.Bu gyr[a, b] dir ve Aut(G, ${\displaystyle \oplus }$)nın bir üyesidir ve otomorfizma Gnin gyr[a, b] G içinde a, b tarafından üretilmiş G nin jirootomorfizması denir.Bu işleme gyr:G × G → Aut(G, ${\displaystyle \oplus }$) Gnin jiratörü denir.
5. jirotomorfizmada gyr[a, b] sol döngü özelligi var. gyr[a, b] = gyr[a${\displaystyle \oplus }$b, b]

aksiyomların ilk çifti grup aksiyomları gibidir.Son iki mevcut jiratör aksiyomları ve orta aksiyom bağlantıları iki çifttir.

Böylece bir jirogrubun tersi ve ona özdeş onu niteleyen bir yalancıgrup ve bir döngüsü var.

jirogruplar grupların bir genellemesidir. Her grup bir jirogrupun bir örneğidir özdeş haritada gyr olarak tanımlanır .

jirogrupların bir örneği için not.^[5]

Özdeşlikler

Herhangi jirogrup (G,${\displaystyle \oplus }$) içinde tutulan bazı özdeşlikler:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$ (jirasyon)
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$ (sol ilişkisellik)
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$ (sağ ilişkisellik).^[6] kaynağın 50 sh bazı özellikler verilmiştir

Beltrami–Klein disk/top modeli ve Einstein toplamı

Hiperbolik geometri ve hız artımı formülü ile verilebilen Beltrami–Klein modelinde bu gibi göreli hiz vektörlerinin toplamı noktalar olarak düşünülebilir.3'den büyük boyutun hiperbolik uzay içinde vektör artımıni genelleştirmek için formülde sırayla, nokta çarpımın favorisi içinde çapraz çarpımın kullanımını önleyen bir formu içinde yazılması gerekir .

Genel durum içinde, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ve ${\displaystyle \mathbf {v} }$' hızlarının Einstein hız artımı bağımlı-koordinatlar içinde verilen formu :

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

olarak veriliyor.

burada ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }}$ gamma çarpanı ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$ denklemi ile veriliyor.

alınan koordinatlar ile kullanımı:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

burada ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Einstein hız ekleme değişmeli ve birleşimli yalnızca ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ve ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ise paraleldir. Aslında

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

ve

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

burada "gyr" Thomas presesyonun içine matematiksel soyutlama içinde adlandırılan bir işlemci Thomas jirasyon ve ile veriliyor.

${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

tüm w için. Thomas presesyondas negatif hiperbolik üçgen eksikliği olarak hiperbolik geometri içinde bir yorumlana var .

Lorentz dönüşüm düzenlemesi

Eğer 3-koordinatlara uygulanan dönmenin 3 × 3 matris formu gyr[u,v] ile veriliyor, ise applied to 4-koordinatlara 4 × 4 matrise uygulanan dönme aşağıdaki ile veriliyor:

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$.^[7]

Düzenlenen hızlarının iki Lorentz boostları B(u) ve B(v) u ve v ile veriliyor:^[7][8]

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

Bu aslında ya B(u${\displaystyle \oplus }$v) veya B(v${\displaystyle \oplus }$u) ve siz dönme öncesi veya hız düzenleme paradoksu açılımı sonrası bağlı olup olmadığını yazarak kullanabilirsiniz .

iki Lorentz dönüşümünün düzenlemesi L(u,U) ve L(v,V)'nin bu U ve V içerik dönmeleri ile veriliyor:^[9]

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

Yukarıdaki içinde, bir boost bir 4 × 4 matris olarak gösterilebilir.Boost matris B(v) boost B anlamında vnin bu bileşenleri kullanılıyor ,yani. matrisin girişi içinde v₁, v₂, v₃, veya bu gösterimin bileşenleri yerine içinde v/c nin is Lorentz transformation#Matris formları bölümü içinde kullanılıyor.v 3-hızının bileşenleri üzerinde bağlı giriş matrisleri , ve bunlar bu B(v) gösteriminin anlamıdır.4-hızın girişinin 3'ü 4 hızın bileşenleri üzerinde bağlı bu girişler savunulabilir olarak 3-hızın girişleri olarak aynıdır, ama 3-hızın yardımıyla boost ölçeklemesinin kullanılabilirliği ile bu sonuç boostu siz 3-hızın kullanılan bileşenlerinin iki boost'unun düzenlenmesinden 4 × 4 matrix B(u${\displaystyle \oplus }$v) içinde u${\displaystyle \oplus }$vdüzenlenmesinden alıyor . Ama sonuç boost ayrıca bir dönme matrisi ile çarpmaya gerek olur çünkü boost düzeni(yani iki 4 × 4 matrislerinin çarpımı) bir saf boost içinde sonuçlar değil ama bir boost ve bir dönme,yani alınan B(u)B(v)'ye Gyr[u,v] dönmeye karşılık bir 4 × 4 matristir. B(u)B(v) = B(u${\displaystyle \oplus }$v)Gyr[u,v] = Gyr[u,v]B(v${\displaystyle \oplus }$u).

Einstein jirovektör uzayı

Diyelimki s herhangi pozitif sabit olsun, diyelimki (V,+,.) ve herhangi gerçek iç çarpım uzayı diyelimki V_s={v  ∈  V :|v|<s} olsun.Bir Einstein jirovektör uzayı (V_s, ${\displaystyle \oplus }$, ${\displaystyle \otimes }$) bir Einstein jirogruptur (V_s, ${\displaystyle \oplus }$) ve skaler çarpım ile veriliyor r${\displaystyle \otimes }$v = s tanh(r tanh⁻¹(|v|/s))v/|v| burada r herhangi bir gerçek sayı, v  ∈ V_s, v ≠ 0 ve r ${\displaystyle \otimes }$ 0 = 0 ile gösteriliyor v ${\displaystyle \otimes }$ r = r ${\displaystyle \otimes }$ v.

Einstein skaler çarpımı Einstein artımı üzerinde dağılımı olmayan jirovektorler hariç eşdoğrusaldır (tekdağılımlı), ama bunda diğer vektör uzayının özellikleri de vardı:Herhangi pozitif tamsayı n ve tüm gerçek sayılar için r,r₁,r₂ ve v  ∈ V_s':

n ${\displaystyle \otimes }$ v = v ${\displaystyle \oplus }$ ... ${\displaystyle \oplus }$ v	n terimler
(r1 + r2) ${\displaystyle \otimes }$ v = r1 ${\displaystyle \otimes }$ v ${\displaystyle \oplus }$ r2 ${\displaystyle \otimes }$ v	Skaler dağılım kanunu
(r1r2) ${\displaystyle \otimes }$ v = r1 ${\displaystyle \otimes }$ (r2 ${\displaystyle \otimes }$ v)	Skaler birleşim kanunu
r ${\displaystyle \otimes }$(r1 ${\displaystyle \otimes }$ a ${\displaystyle \oplus }$ r2 ${\displaystyle \otimes }$ a) = r ${\displaystyle \otimes }$(r1 ${\displaystyle \otimes }$ a) ${\displaystyle \oplus }$ r ${\displaystyle \otimes }$(r2 ${\displaystyle \otimes }$ a)	Tekli dağılmalı kanun

Poincaré disk/top modeli ve Möbius artımı

karmaşık düzlem içinde açık birim diskin Möbius dönüşümü kutupsal bozunma ile veriliyor

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$ bunun ${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$ olarak yazılabilen bu tanımı Möbius artımı ${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$ olur.

Karmaşık sayılar düzlemi R^2 vektörler olarak kabul edilir, ve Möbius ilave olarak vektör formunda yeniden yazılarak bu daha yüksek boyutlara genelleştirilerek:

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}$

Bu karmaşık birim s=1 disk için şimdi herhangi bir s>0 olur hiperbolik geometrinin Poincaré topu modelinde noktaların vektör artımını verir.

Izomorfizmler

Bir jirovektör uzay izomorfizmi jirogrup toplama ve skaler çarpma ve iç çarpımı korur.

Üç ayri jirovektör alanda Möbius, Einstein ve Uygun hız izomorfiktir.

M, E and U sırasıyla Mobius, Einstein ve Uygun Hız jirovektör uzayları ile v_m, v_e vev_u ögeleri ise verilen izomorfizmler ile:

E${\displaystyle \rightarrow }$U by ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}}$

U${\displaystyle \rightarrow }$E by ${\displaystyle \beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}}$

E${\displaystyle \rightarrow }$M by ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}}$

M${\displaystyle \rightarrow }$E by ${\displaystyle 2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}}$

M${\displaystyle \rightarrow }$U by ${\displaystyle 2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}}$

U${\displaystyle \rightarrow }$M by ${\displaystyle {\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}}$

${\displaystyle \oplus _{E}}$ ve ${\displaystyle \oplus _{M}}$ arasındaki ilişki bu tablodan denklemleri ile veriliyor:

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}$

Bu Möbius dönüşümleri ve Lorentz dönüşümleri arasında bağlantıyla ilişkilidir.

Notlar ve kaynaklar

1. Abraham A. Ungar (2005), "Analytic Hyperbolic Geometry: Mathematical Foundations and Applications", Published by World Scientific, ISBN 981-256-457-8, ISBN 978-981-256-457-3
2. Hubert Kiechle (2002), "Theory of K-loops",Published by Springer,ISBN 3-540-43262-0, ISBN 978-3-540-43262-3
3. Larissa Sbitneva (2001), Nonassociative Geometry of Special Relativity, International Journal of Theoretical Physics, Springer, Vol.40, No.1 / Jan 2001
4. J lawson Y Lim (2004), Means on dyadic symmetrie sets and polar decompositions, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / Dec 2004
5. Hyperbolic trigonometry in the Einstein relativistic velocity model of hyperbolic geometry, AA Ungar – Computers & Mathematics with Applications, 2000 – Elsevier, Page 5, Postscript version
6. Analytic hyperbolic geometry and Albert Einstein's special theory of relativity, Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9
7. Ungar, A. A: The relativistic velocity composition paradox and the Thomas rotation. Found. Phys. 19, 1385–1396 (1989)
8. Ungar, A. A. (2000). "The relativistic composite-velocity reciprocity principle". Foundations of Physics (Springer). Şablon:Citeseerx. 
9. eq. (55),Lorentz dönüşüm grupunun Thomas dönmesi ve ölçeklemesi, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988

• Domenico Giulini, Algebraic and geometric structures of Special Relativity, A Chapter in "Special Relativity: Will it Survive the Next 100 Years?", edited by Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

İleri okuma

• A. A. Ungar (2009). Gyrovectors: an Approach to Hyperbolic Geometry. Synthesis lectures on mathematics and statistics. Morgan & Claypool Publishers. ISBN 159-829-822-4. http://books.google.co.uk/books?id=dlFTgrhqm3IC&pg=PR12&lpg=PR12&dq=gyrovectors+an+approach+to+hyperbolic+geometry&source=bl&ots=8kouPvAY1d&sig=2_AeFIz6xdg8pZKGq9sMD3ChJVw&hl=en&sa=X&ei=FdFwUrG9IcmqhQe08ICoDQ&ved=0CDwQ6AEwAg#v=onepage&q=gyrovectors%20an%20approach%20to%20hyperbolic%20geometry&f=false. 
• T. M. Rassias (2000). Mathematical Analysis and Applications. Collection of Articles in Mathematics. Hadronic Press. s. 307, 326, 336. ISBN 157-485-045-8. http://books.google.co.uk/books?id=rhjvAAAAMAAJ&q=gyrovector&dq=gyrovector&hl=en&sa=X&ei=QtJwUr7jPKfR7Aby8YH4CA&ved=0CFMQ6AEwBw. 
• Maks A. Akivis And Vladislav V. Goldberg (2006), Local Algebras Of A Differential Quasigroup, Bulletin AMS, Volume 43, Number 2
• Oğuzhan Demirel, Emine Soytürk (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem In The Poincare Disc Model Of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math. Vol. 38, No. 2, 2008, 33–39
• M Ferreira (2008), Spherical continuous wavelet transforms arising from sections of the Lorentz group, Applied and Computational Harmonic Analysis, Elsevier
• T Foguel (2000), Comment. Math. Univ. Carolinae, Groups, transversals, and loops
• Yaakov Friedman (1994), "Bounded symmetric domains and the JB*-triple structure in physics", Jordan Algebras: Proceedings of the Conference Held in Oberwolfach, Germany, August 9–15, 1992, By Wilhelm Kaup, Kevin McCrimmon, Holger P. Petersson, Published by Walter de Gruyter, ISBN 3-11-014251-1, ISBN 978-3-11-014251-8
• Florian Girelli, Etera R. Livine (2004), Special Relativity as a non commutative geometry: Lessons for Deformed Special Relativity, Phys. Rev. D 81, 085041 (2010)
• Sejong Kim, Jimmie Lawson (2011), Smooth Bruck Loops, Symmetric Spaces, And Nonassociative Vector Spaces, Demonstratio Mathematica, Vol. XLIV, No 4
• Peter Levay (2003), Mixed State Geometric Phase From Thomas Rotations
• Azniv Kasparian, Abraham A. Ungar, (2004) Lie Gyrovector Spaces, J. Geom. Symm. Phys
• R Olah-Gal, J Sandor (2009), On Trigonometric Proofs of the Steiner–Lehmus Theorem, Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
• Gonzalo E. Reyes (2003), On the law of motion in Special Relativity
• Krzysztof Rozga (2000), Pacific Journal Of Mathematics, Vol. 193, No. 1,On Central Extensions Of Gyrocommutative Gyrogroups
• L.V. Sabinin (1995), "On the gyrogroups of Hungar", RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
• L.V. Sabinin, L.L. Sabinina, Larissa Sbitneva (1998), Aequationes Mathematicae, On the notion of gyrogroup
• L.V. Sabinin, Larissa Sbitneva, I.P. Shestakov (2006), "Non-associative Algebra and Its Applications",CRC Press,ISBN 0-8247-2669-3, ISBN 978-0-8247-2669-0
• F. Smarandache, C. Barbu (2010), The Hyperbolic Menelaus Theorem in The Poincaré Disc Model of Hyperbolic Geometry
• Roman Ulrich Sexl, Helmuth Kurt Urbantke, (2001), "Relativity, Groups, Particles: Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics", pages 141–142, Springer, ISBN 3-211-83443-5, ISBN 978-3-211-83443-5

Dış bağlantılar

• Einstein's Special Relativity: The Hyperbolic Geometric Viewpoint
• Hyperbolic Trigonometry and its Application in the Poincaré Ball Model of Hyperbolic Geometry. Şablon:Citeseerx.