Kümülant

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken Xin μ = E(X) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = E((X - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. Bunlar ilk iki kümülant olurak belirlenirler; yani

κ₁ = μ ve κ² = σ².

n tane kümülant κ_n bir 'kümülant üreten fonksiyon tarafından belirlenir; bu fonksiyon g(t) olarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle g(t)=\log(E(e^{t\cdot X}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar g(t) fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir:

κ₁ = μ = g' (0),

κ₂ = σ² = g' '(0),

κ_n = g⁽ⁿ⁾ (0).

κ_n kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı Edgeworth serileri açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir.

Tarihçe

Kümülant kavramı 1889da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi Thorvald N. Thiele (1838 - 1910) tarafından yarı-değişmezler adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikcisi Ronald Fisher tarafından ortaya atilip sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi Wishart tarafından geliştirilmiştir.^[1]

Momentler ve kümülantlar

Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın momentleri ile yakindan iliş$kilidir. Kümülant kavramının gelistirilmesi ve bunların momentler kavramına pratik kulanımda tercih edilmesi nedeni bağımsız iki rassal değişken X ve Y için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır;

${\displaystyle g_{X+Y}(t)=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t)\,.}$

Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşit kümülantların toplamının bir toplamı olur.

Moment üreten fonksiyon şöyle verilir:

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(g(t)).}$

Böylece kümülant üreten fonksiyon moment üreten fonksiyonun logaritmasıdır.

Birinci kümülant beklenen değer; ikinci kümülant varyans ve ikinci ve üçüncü kümülant merkezsel momentler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne momentler ne de merkezsel momentlere karşıttırlar.

Kümülantlar momentlere şu (yineleme) formülü ile bağlıdrlar:

${\displaystyle \kappa _{n}=\mu '_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}\mu _{n-k}'.}$

ninci moment μ′_n ilk n kümülant ile kurulmuş ninci derece bir polinomdur; yani (Bunun katsayıları hep pozitif olur ve Faà di Bruno'nin formülünde bulunan katsayılardır.)

${\displaystyle \mu '_{1}=\kappa _{1}\,}$

${\displaystyle \mu '_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\,}$

${\displaystyle \mu '_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\,}$

${\displaystyle \mu '_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\,}$

${\displaystyle \mu '_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\,}$

${\displaystyle \mu '_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\,}$

Merkezsel momentler olan μ_n (DIKKAT μ′_n DEĞIL) ile kümülant bağlılığı şöyledir:

${\displaystyle \mu _{1}=0\,}$

${\displaystyle \mu _{2}=\kappa _{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=\kappa _{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{6}=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\,}$

Karekteristik fonksiyon ve kümülantlar

Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karekteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanimlamayi tercih ederler.^[2][3]

${\displaystyle h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}\cdot {\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

Bu türlü tanımlamanın avantaji eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır.

Ayrıca bakınız

• Momentler
• Merkezsel moment
• Moment üreten fonksiyon

Kaynakça

1. Fisher 1929'da ilk defa Harold Hotellinge yazdığı bir mektupta bu kavramı kumulatif moment fonksiyonu adi ile kullanmıştır. İlk kümülant adı olarak kullanılması R. Fisher ve J.Wishart (1931) "The derivation of the pattern formulae of two-way partitions from those of simpler patterns", Proceedings of the London Mathematical Society, 2. Seri C. 33 say. 195-208 makalesindedir.
2. Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
3. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Cumulant (MathWorld)
• Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.