Karmaşık eşlenik vektör uzayı

matematikte, bir karmaşık vektör uzayı $V\,$'nın (resmi) karmaşık eşlenik karmaşık vektör uzayı $\overline V$ $V\,$'nin ögelerinin tüm resmi karmaşık eşlenikleri oluşturur. Bu, $\overline V$ bir vektör uzayı olan ögeleri $V\,$'nın bir-e-bir karşılık içinde ögeleri ile:

$\overline V = \{\overline v \mid v \in V\},$

toplam ve skaler çarpım için aşağıdaki kurallar ile:

$\overline v + \overline w = \overline{\,v+w\,}\quad\text{and}\quad\alpha\,\overline v = \overline{\,\overline \alpha \,v\,}.$

Burada $v\,$ and $w\,$ $V\,$ içindeki vektörlerdir, $\alpha\,$ bir karmaşık sayıdır, ve $\overline\alpha$ , $\alpha\,$'nın karmaşık eşlenik ifadesidir.

Daha somut,karmaşık eşlenik vektör uzayı gerçek vektör uzayı altta yatan aynı(noktaların aynı kümesi, aynı vektör toplamı ve gerçek skaler çarpım) ile eşlenik doğrusal karmaşık yapı J (iile fark çarpımı)dir.

Antilineer haritalar

Eğer $V\,$ ve $W\,$ karmaşık vektör uzayı, bir fonksiyon $f\colon V \to W\,$ antilineerdir eğer

$f(v+v') = f(v) + f(v')\quad\text{and}\quad f(\alpha v) = \overline\alpha \, f(v)$

tüm $v,v'\in V\,$ için ve $\alpha\in\mathbb{C}$.

vektör uzayı $\overline V$ oluşmasına tek neden bu doğrusal göndermeler içinde antilineer göndermeler yapılıyor. Özellikle, eğer $f\colon V \to W\,$ bir antilineer gönderme, ise karşılık gelen gönderme $\overline V \to W$ ile tanımlanıyor

$\overline v \mapsto f(v)$

doğrusaldır. Tersine, herhangi doğrusal gönderme $\overline V$ üzerinde tanımlanıyor $V\,$ üzerinde bir antilineer göndermeye yükseltme veriliyor.

Tek yol bu karşılık hakkında düşüncenin bu $C\colon V \to \overline V$ gönderme tanımı ile

$C(v) = \overline v$

bir antilineer tanımlansın. Böylece eğer $f\colon \overline V \to W$ doğrusal, ise bileşim $f \circ C\colon V \to W\,$ antilineerdir, ve tersi.

Doğrusal gönderme eşleniği

Herhangi doğrusalharita $f \colon V \to W\,$ bir eşlenik doğrusal gönderme uyarıyor $\overline f \colon \overline V \to \overline W$,formülü ile tanımlanır

$\overline f (\overline v) = \overline{\,f(v)\,}.$

Eşlenik doğrusal gönderme $\overline f$ doğrusaldır.Dahası, $V\,$ üzerinde özdeş gönderme $\overline V$ özdeş göndermesini uyarır, ve

$\overline f \circ \overline g = \overline{\,f \circ g\,}$

herhangi iki doğrusal haritalar $f\,$ ve $g\,$ için.Bunun için, $V\mapsto \overline V$ kuralı ve $f\mapsto\overline f$ kendisine karmaşık vektör uzayının kategoriden bir funktör tanımlanır.

Eğer $V\,$ ve $W\,$ sonlu-boyutlu ve $f\,$ gönderme $W\,$'nin $V\,$ ve $\mathcal C$ sinin taban $\mathcal B$ sinin sırasıyla karmaşık matris $A\,$ sırasıyla tanımlanıyor,ise $\overline f$ göndermesi $A\,$'nın karmaşık eşlenik taban sırasıyla $\overline V$'nın $\overline{\mathcal B}$ ve $\overline W$nın $\overline{\mathcal C}$ tanımlanıyor.

Eşlenişiğin yapısı

vektör uzayı $V\,$ ve $\overline V$ var ve karmaşık sayılar ve bunun için karmaşık vektör uzayı üzerinde aynı boyut olarak izomorfiktir. Bununla birlikte,$V\,$ dan $\overline V$ ya burada doğal izomorfizm yoktur. ($C\,$ göndermesi bir izomorfizm değildir, dolayısıyla antilineerdir.)

çift eşlenik $\overline{\overline V}$ ,$V\,$ya doğal izomorfiktir, $\overline{\overline V} \to V$ ile izomorfizm ile tanımlanır

$\overline{\overline v} \mapsto v.$

Genellikle $V\,$'nın çift eşlenik basit $V\,$ özdeşi iledir.

Ayrıca bakınız

• Doğrusal karmaşık yapı

Kaynakça

• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (complex conjugate vector spaces are discussed in section 3.3, pag. 26).