Funktör

matematikte,funktör kategoriler arası göndermenin bir tipidir, Bu kategori teori içinde uygulamadır. Funktörler kategoriler arası homomorfizmler olarak düşünülebilir.küçük kategorilerin kategorisi içinde, funktörler daha genel olarak morfizmler olarak düşünülebilir.

cebrik topoloji içinde ilk elde edilen Funktörler idi, burada cebrik nesneler (temel grup gibi) topolojik uzaylara ilişkilenir, ve cebrik homomorfizmler sürekli göndermelere ilişkilendiriliyor. Günümüzde, funktörlerin çeşitli kategorilerle ilişkileri modern matematik yoluyla kullanılıyor. Böylece funktörler bölgeler içinde genel uygulanabilirliği bu matematik kategori teori ile birlikte soyutlanabilir

funktör kelimesini filozof Rudolf Carnaptan matematikçiler ödünç almıştır,^[1] O dilsel konular içinde kullaniliyor:^[2] fonksiyon kelimesine bakınız.

Tanım

Diyelimki C ve D kategoriler ve C den D ye bir funktör F,bir gönderme olsun^[3]

• her ${\displaystyle X\in C}$ nesneye bir ${\displaystyle F(X)\in D}$ nesne ilişkilenir ,
• her morfizme ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}$ bir morfizm ${\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D}$ ilişkilenir, böylece aşağıda iki durum mevcuttur:
  • her ${\displaystyle X\in C}$ nesnesi için ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$
  • ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ ve ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$ tüm morfizmler için ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$

Bu,funktörlerin eş morfizmler ve morfizmlerin düzeni korunmalıdır.

Eşdeğişinti ve karşıt değişinti

gerçek şu ki Burada matematik içindeama "morfizm çevresinde dönen" ve "ters düzen" için birçok yapılar funktörler olacak .O zaman C denD ye bir haritalama olarak bir F karşıtdeğişinti funktör tanımlarız

• her ${\displaystyle X\in C}$ nesneye ilişkili bir ${\displaystyle F(X)\in D,}$ nesnesi
• her ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}$ morfizme ilişkili bir ${\displaystyle F(f):F(Y)\rightarrow F(X)\in D}$ morfizmi böylece
  • her ${\displaystyle X\in C}$ nesnesi için ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ ,
  • tüm ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ ve ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$ morfizmler için ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$

zıt değişintili funktörlerin düzen yönünün tersine olduğunu unutmamak gerekir.

Sıradan funktörler ayrıca düzen içinde eşdeğişinti funktörleri bir karşıtdeğişirden ayırıyor. unutmadan ayrıca bir karşıtdeğişinti funktör zıt kategori üzerinde bir eşdeğinti funktör olarak tanımlanabilir ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$.^[4] bazı yazarlar eşdeğişintili tüm ifadeleri yazmayı tercih ederler. Yani, söylenenlerin yerine ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$ bir zıtdeğişintili funktordür, bu basitçe ${\displaystyle F:C^{\mathrm {op} }\rightarrow D}$ yazılır (veya bazen ${\displaystyle F:C\rightarrow D^{\mathrm {op} }}$) ve ona bir funktör denir.

Eşdeğişintili funktörler ayrıca bazen eşfunktörler olarak çağrılır.

Zıt funktör

Her ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$ funktör ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }:C^{\mathrm {op} }\rightarrow D^{\mathrm {op} }}$ zıt funktör uyarır burada ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ve ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$.^[5] ye zıt kategori ile tanımlanıyor, ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ gönderme nesneleri ve morfizmi ${\displaystyle F}$ 'ye özdeştir. devamla ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ ile rastlaşık olmayan bir ${\displaystyle C}$ kategori olarak ve benzeşiği ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$için,${\displaystyle F}$ 'den ayrılır örneğin,${\displaystyle F:C_{0}\rightarrow C_{1}}$ ile ${\displaystyle G:C_{1}^{\mathrm {op} }\rightarrow C_{2}}$,oluştururken bir kullanma ya ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ veya${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$ dır.Unutmadan zıt kategori'nin özelliklerini takiple, .

Bifunktörler ve multifunktörler

Bir bifunktör (ayrıca bir ikili funktör olarak bilinir) iki bileşenli bir funktördür.Hom funktör bir doğal örneğidir ; o bir bileşenin içinde karşıtdeğişinti, diğeri içinde eşdeğişintidir.

Resmi olarak, bir bifunktör bir funktör etki alanı bir çarpım kategorisidir. Örneğin, bu tip'in Hom funktörü C^op × C → Kümesi dir.

Bir multifunktör n değişkenlerine funktör kavramının bir genellemesidir. Örneğin bir bifunktör n = 2 ile bir multifunktördür.

Örnekler

Diyagram:C ve J kategorileri için,C içinde J tipinin bir diyagramı ${\displaystyle D:J\rightarrow C}$ eşdeğişinti funktörüdür.

(Kategori teorik) presheaf:C ve J kategorileri için,bir C üzerinde J-presheaf ${\displaystyle D:C\rightarrow J}$bir karşıtdeğişinti funktörüdür.

Presheaves: Eğer X bir topolojik uzay,içerik altında Açık(X) bir kısmi sıralı küme X formu içinde açık kümeler ise her kısmi sıralı küme gibi,Açık(X) tek bir ok ekleme ile U → V ancak ve ancak küçük ${\displaystyle U\subseteq V}$ bir kategori oluşturur .Açık(X) üzerindeki karşıtdeğişken funktörlara X üzerinde presheaves denir.Örneğin U üzerinde gerçek-değerli sürekli fonksiyonların her açık kümesine atama ile ilişkisel cebir X üzerinde cebirin bir presheaf'ı elde edilir.

Sabit funktör: funktör C → D X in D içindeki bir X sabit nesneye C nin her nesneyi gönderir ve C içindeki X üzerinde özdeş morfizme her morfizm. Böyle bir funktör bir sabit veya elenme funktörüdür.

Endofunktör: Bu funktor kendine bir kategori göndermedir.

Özdeş funktör:C kategorisi,1_C veya id_C yazılır,kendis kendisine morfizmalar ve nesne gönderir.Özdeş funktör bir endofunktördür

Köşegen funktör: Diyagonal funktör D funktörden D^C funktör kategorisine tanımlanır bu nesne de sabit funktöre D içinde her nesneyi gönderir.

Limit funktör:sabit bir indis kategori J için , eğer her funktor J→C bir limit var(örneğin eğer C tamsa), ise limit funktor C^J→C her funktöre atanan limittir. Bu funktor varlığıdiyagonal funktöre, sağ-ek'in farkı ile ispat edilebilir ve Freyd ek funktör teoremini yürütüyor. Bu seçim aksiyomunun bir uygun versiyonu gereklidir. Benzer sözler eşlimit funktör için geçerlidir (bu eşdeğişintidir).

Kuvvet kümeleri: Kuvvet kümesi funktörü P : Küme → Küme kuvvet kümesine her küme göndermedir ve ${\displaystyle f(U)\subseteq Y}$ görüntüye ${\displaystyle U\subseteq X}$ gönderilen gönderime ${\displaystyle f:X\to Y}$ her fonksiyondur. One can also consider the contravariant power set functor which sends ${\displaystyle f:X\to Y}$ to the map which sends ${\displaystyle V\subseteq Y}$ to its inverse image ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

İkili vektor uzayı: Bu gönderme her vektör uzayına atanan ikili uzaydır ve her doğrusal haritaya ikilidir veya kendine bir sabitlenmiş bir alan üzerinde tüm vektör uzaylarının kategorisinden devrik bir karşıtdeğişinti funktörüdür .

Temel grup:noktalı topolojik uzayın kategorisi düşünülür, yani topolojik uzaylar ile ayırt edici noktaları. Nesne (X, x₀) çiftidir, burada X bir topolojik uzaydır ve x₀ X içinde bir noktadır. Bir morfizm (X, x₀) dan (Y, y₀)ya bir sürekli göndermef : X → Y ile f(x₀) = y₀ ile verilir.

topolojik her X uzayı ile ayırtedici nokta x₀dır, x₀ tabanında bir temel grup tanımlanabilir, ifadesi π₁(X, x₀). Bu homotopi x₀ taban döngüsünün homotopi sınıfının grupudur. Eğer noktalı uzayının f : X → Y morfizmi, taban noktası ile Y içindeki yeterli bir döngüye f ile düzenlenebilir x₀ taban noktası ile X içinde bu her döngü ise işlem eşdeğer ilişki homotopisi ve döngünün düzeni ile uyumludur, ve π(X, x₀) dan π(Y, y₀) ya bir grup homomorfizmi veriliyor.Biz böylece grupların kategorisi noktalı topolojik uzaylar kategorisinden bir funktor elde ediyoruz.

(ayırt edici nokta olmadan) topolojik uzaylar kategorisinde, tek bir jenerik eğrilerin eşyerellik sınıfları düşünülüyor, ama onların bir bitiş noktası paylaşılmadığı sürece oluşamaz.Böylece bir temel grupun yerine temel grubumsu var, ve bu yapım funktöriyeldir.

sürekli fonksiyonların cebri:topolojik uzayın kategorisinden (sürekli gönderme ile morfizmler olarak )gerçek ilişkisel cebirlerin kategorisine bir eşdeğişinti funktoru bu uzay üzerinde tüm gerçek-değerli sürekli funksiyonların her X topolojik uzayına atama ile verilen cebiri C(X) dır. Her sürekli gönderme f : X → Y bir cebir homomorfizmi uyarır C(f) : C(Y) → C(X) C(f)(φ) = φ o f kural ile her φ için C(Y) içinde.

Tanjant ve kotanjant demetler: Gönderme bu tanjant demete her diferansiyellenebilir manifold gönderir ve vektor demetleri.

bu noktasal izlemeli konstrüksiyonlar tanjant uzayı verir,gerçek vektör uzaylarının kategorisine noktalı differensiyellenebilir manifoldların kategorisinden bir eşdeğişinti funktörüdür. Aynı şekilde, kotanjant uzay bir karşıtdeğişinti funktörüdür,tanjant uzayının esas düzeni ile ikili uzayı yukarıda.

Grup hareketler/gösterimler: Her grup G bir kategori olarak düşünülebilir bir tekli nesne ile böyle morfizmler Gnin ögesidir. Bir funktor G den Kümeye ama özel olarak küme üzerinde Gnin bir grup hareketi değil ise , yani bir G-kümesidir. Bunun gibi, bir funktor G den vektor uzayının kategorisine, Vect_K, Gnin bir doğrusal gösterimidir . Genelde, bir funktör G → C Ckategorisi içinde bir nesne üzerinde Gnin bir "eylem"i olarak kabul edilebilir. Eğer C bir grup,ise bu hareket bir grup homomorfizmidir.

Lie cebiri:Her gerçek (karmaşık) Lie grupa atama ve gerçek (karmaşık) Lie cebiridir ve bir funktör tanımlar.

Tensör çarpımları: Eğer C bir sabitlenmiş alan üzerinde vektör uzayının kategori ifadesi,ile morfizmler olarak doğrusal göndermeler, ise tensör çarpımı ${\displaystyle V\otimes W}$ bir funktör C × C → C tanımlar hem de bu bileşen eşdeğişintidir.^[6]

Unutkan funktorler:funktör U : Grp → Küme bu göndermeler kümelerin altındaki kümeye bir grup ve bir altındaki fonksiyona grup homomorfizmi bir funktördür.^[7] Bu gibi "unutkan" funktör bazı yapılar,unutkan funktorlerle sonlanır.Diğer örnekler funktör Rng → Ab bu göndermele bir abeliyen grup altında yatan halkaya katkıdır. Rng içinde morfizmler (halka homomorfizmleri) Ab içinde morfizmler olur(değişmeli grup homomorfizmaları).

Serbest funktörler: unutkan funktörlerin zıt yönüne giden serbest funktörlerdir.Serbest funktör F : Küme → Grp X ile üretilen serbest grupa her X kümesini gönderir. Fonksiyonlar grup homomorfizmleri ile serbest gruplar arasında verilen gönderimdir.Kümelerin yapıları üzerinde temel birçok kategoriler için serbest yapılar var. Bakınız serbest nesne.

Homomorfizm gruplar: A, B abeliyen gruplarının her çiftine A dan B ye tüm grup homomorfizmlerin Hom(A,B) oluşan abeliyen grup atanabilir.Bu bir funktör ve bunun ilki içinde karşıtdeğişinti ve ikinci bileşen içinde eşdeğişintidir,yani bu bir Ab^op × Ab → Ab funktördür.(burada Ab abeliyen grupların kategorisi ile ifade edilen grup homomorfizmleridir). Eğer f : A₁ → A₂ ve g : B₁ → B₂ Ab içinde morfizm ise grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(A₂,B₁) → Hom(A₁,B₂)φ g ∘ φ ∘ f ile verilir. BakınızHom funktör.

Gösterimsel funktorler: Biz herhangi bir kategori C için önceki örneği genelleme yapabiliriz.Bir C içindeki nesnelerin her X, Y çiftine X dan Yye morfizmin Hom(X,Y) kümesi atanabilir. Bu bir kümeye funktör tanımlar bu ikinci içinde karşıtdeğişinti ilk bileşen içinde eşdeğişintidir , yani o bir funktör C^op × C → kümedir. Eğer f : X₁ → X₂ ve g : Y₁ → Y₂ Ciçinde morfizmdir, ise grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(X₂,Y₁) → Hom(X₁,Y₂)φ g ∘ φ ∘ f ile verilir.

Bu gibi funktörlere gösterimsel funktörler denir. Birçok çerçevenin önemli amacı belirli bir funktör gösterilemeyecek olup olmadığını belirlemektir. tant goal in many settings is to determine whether a given functor is representable.

Özellikler

Funktör aksiyomların iki önemli sonucu:

• F dönüşümleri D içindeki bir değişmeli diyagram içerisinde C içinde her değişmeli diyagram ;
• Eğer f C içinde bir izomorfizm, ise F(f) D içinde bir izomorfizmdir .

Tek funktorlar oluşturulabilir,yani eğer F bir fanktor Adan B ye ve G bir fanktor B den C ye ise G∘F komposit fanktor formu A danCye olabilir.Fanktorların bileşimi burada birleşmeli tanımlanıyor Fanktorların düzeninin özdeşi özdeş fanktordur. Bu funktörler kategorilerin kategorilerinde örnek için küçük kategorilerin kategorisi içinde morfizm olarak kabul edilebilir olduğunu göstermektedir, .

Bir tek nesne kategori morfizmalar monoid unsurları olarak düşünülebilir, ve kategorideki bileşim monoid işlem olarak düşünülmektedir: Bir monoid olarak tek nesne ile küçük bir kategori aynı şeydir. Tek nesne kategorileri ile fanktorlar arasındaki homomorfizmalar monoid'e karşılık gelmektedir. Yani bir anlamda, keyfi kategoriler arasındaki fanktorlar birden fazla nesne ile kategorilerine monoid homomorfizmalarının genellenebilir bir türüdür.

Diğer kategorik kavramlarla ilişkisi

Diyelimki C ve D kategoriler olsun.Fanktor kategori: Bir kategori nesnelerinin C → D formlarının tüm fanktorların bileşimidir. Bu kategoride morfizmler funktorların arasındaki doğal dönüşümleridir.Fanktorlar genellikle genel özelliklerine göre tanımlandığı gibidir; örnekleri tensör çarpımı, grupların veya vektör uzaylarının direkt toplamı ve direkt çarpımı , serbest gruplar ve modüllerin yapımı, direkt ve ters limitleridir

Yukarıdaki limit ve eşlimit kavramlarının birkaç genellemesidir. Evrensel yapılar genellikle eşlenik funktor çiftlerine neden olmaktadır.

Bilgisayar uygulamaları

Fanktorlar bazen fonksiyonel programlama içinde görünür. örneğin, Haskell dili Functor sınıf burada fmap bazı yeni sınıf fonksiyonlara üzerinde varolan bir sınıf üzerinde (morfizmler) fonksiyonlar göndermesine kullanılan bir politipik fonksiyondur .

Ayrıca bakınız

• Funktör kategori
• Kan uzantısı

Notlar

1. Mac Lane, Saunders (1971), Categories for the Working Mathematician, Springer-Verlag: New York, ss. 30, ISBN 978-3-540-90035-1 
2. Carnap, The Logical Syntax of Language, p. 13–14, 1937, Routledge & Kegan Paul
3. Jacobson (2009), p. 19, def. 1.2.
4. Jacobson (2009), p. 19–20.
5. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory, Springer, ISBN 978-0-387-97710-2 
6. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4 
7. Jacobson (2009), p. 20, ex. 2.

Kaynakça

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd bas.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Functor", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/f042140.htm 
• see Şablon:Nlab and the variations discussed and linked to there.
• André Joyal, CatLab, a wiki project dedicated to the exposition of categorical mathematics
• Hillman, Chris. "A Categorical Primer". Şablon:Citeseerx:  formal introduction to category theory.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Category Theory" — by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John, 1996,"The Tale of n-categories." An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• The catsters, a YouTube channel about category theory.
• Funktör, PlanetMath.org.
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.

Şablon:Functors