Killing formu

Matematikte,Killing formu adını Wilhelm Killing'ten almıştır,, simetrik bir çift doğrusal şekli Lie grupları ve Lie cebri teorileri için temel bir rol oynar, .Killing formu aslında yaptığı tez çalışmasında Elie Cartan (1894) tarafından Lie cebri alanına teori olarak girmiştir;Killing daha önce giriş yapmış olsa da geçiş olarak bunu bahsetmektedir onu ciddi biçimde hiç kullanmadı.

Tanım

Bir K alan'ı üzerinde bir g Lie cebri düşünün g nin her x elemanı gibi, g nin eşlenik Lie braketi yardımıyla ek endomorfizma ad(x) (ayrıca ad_x olarak yazılır) tanımlanır.

ad(x)(y) = [x, y].

Şimdi,g 'nin sonlu boyutlu gibi olduğu varsayılarak iki Endomorfizmlerin bileşiminin iz'ini simetrik çift doğrusal şeklinde tanımlayan,

B(x, y) = trace(ad(x)ad(y)),

K, g Killing formundaki değerleri ile.

Özellikler

• Killing form B çift doğrusal ve simetriktir.
• Killing formu 'birleşme' özelliği anlamında, bir değişmez formdur

B([x,y], z) = B(x, [y, z]), burada [ , ] Lie braketidir

• g basit bir Lie cebiri ise o zaman g'nin herhangi bir değişmeyen simetrik çift doğrusal formu Killing formun çoklu bir skalerdir
• Killing formu cebirgnin cebri s altında değişmez otomorfizmalar olduğu , yani,

B(s(x), s(y)) = B(x, y)için s Aut(g)nin içindedir., bira Lie cebrinin Cartan kriterleri durumları yarı-basit ise ve yalnızca Killing formu ise dejenere değildir.

• Bir Lie cebrinin Killing formu sıfıra özdeş ise ancak ve ancak bir çözülebilir Lie cebridir. Özellikle,bir nilpotent Lie cebri(n'inci kuvveti sıfıra eşitlenecek)nin Killing formu özdeşi sıfırdır.
• I, J iki ideal'leri sıfır ile g nin kesişimi olan bir Lie cebrinin içinde ise,I ve J Killing formu ile ilgili olarak ortogonal alt-uzaylar vardır.
• Belirli bir Lie cebrinin g idealleri I1 doğrudan bir toplamı I₁,...,I_n içinde ise,g Killing formu bireysel olarak her birinin Killing biçimlerinin doğrudan toplamıdır.

Ayrıca bakınız

• Casimir değişmezi

Kaynakça

• Daniel Bump, Lie Groups (2004), Graduate Texts In Mathematics, 225, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21154-1
• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thesis, Nony, http://books.google.com/books?id=JY8LAAAAYAAJ 
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• Şablon:Fulton-Harris
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Killing form", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/k055400.htm