Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

${\displaystyle L={d \over dx}(1-x^{2}){d \over dx}+l(l+1)*y\,}$ ; ${\displaystyle l\in (0,\mathbb {Z} ^{+})}$

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}.\qquad }$ (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

${\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x}$

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle x\,}$
2	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}$
3	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}$
4	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}$
5	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}$
6	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}$
7	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}$
8	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}$
9	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}$
10	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}$

Çözümü

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

${\displaystyle Ly=0\,}$

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

${\displaystyle y'=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$

${\displaystyle y''=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

${\displaystyle Ly\,}$	${\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y}$
	${\displaystyle =(1-x^{2})\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}}$
	${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}}$
	${\displaystyle =0\,}$

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

${\displaystyle a_{2}=-{l(l+1) \over 2}a_{0}}$

olur. Genellenirse

${\displaystyle a_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_{n}}$

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_{n}x^{n}}\right|<1}$

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

${\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,}$

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyleki

${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}$^[1]

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

${\displaystyle P_{n}(1)=1.\,}$

ve son noktada türev ile veriliyor

${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,}$

yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,}$

ve

${\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x).}$

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].}$

yukardakinden şu görülebilir

${\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\ldots }$

veya eşdeğeri

${\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots }$

burada ${\displaystyle \|P_{n}(x)\|}$ −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

${\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}$

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.}$

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).}$

Legendre polinomlarının bir toplamı ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$ için ve ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

${\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x)\,.}$

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

${\displaystyle P_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\,.}$

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ ve ${\displaystyle (\theta ',\phi ')}$ var,

Asimptotiklik ${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$ birimden yoksun eklentiler için

${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})}$

ve birimden büyük eklentiler için

${\displaystyle P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,}$

burada ${\displaystyle J_{0}}$ ve ${\displaystyle I_{0}}$ Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması

Kayan Legendre polinomları ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$ olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$ polinomları [0, 1] arasında bulunur:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}$

kayan Legendre polinomu için bir

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}$

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}$

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n	${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$
0	1
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Legendre fonksiyonları

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,${\displaystyle Q_{n}(x)}$ ile ifade edilir.

${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]}$

Diferansiyel denklem

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0}$

genel çözümü var

${\displaystyle f(x)=AP_{n}(x)+BQ_{n}(x)}$,

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tamsayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu P_n uyumludur.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
• Gaussian dörtlüsü
• Gegenbauer polinomları
• Legendre kesirli fonksiyonları
• Turán eşitsizliği
• Legendre dalgacığı
• Jacobi polinomları
• Küresel Harmonikler

Notlar

1. George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.

Kaynakça

• Şablon:Abramowitz Stegun ref2
• Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley , Chapter 2.
• Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables, 18, Pergamon Press .
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc .
• Şablon:Dlmf
• Şablon:Dlmf
• Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions, CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4 

Dış bağlantılar

• A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Legendre polynomials", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/l058050.htm 
• Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
• Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
• Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
• The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
• Legendre Polynomials from Hyperphysics