Matris normal dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde matris normal dağılımı tek değişebilirli normal dağılımının çoklu değişebilirli olarak genelleştirilmesidir.

Matris normal dağılım gösteren çoklu rassal değişkenler matrisi, (rassal matris) X (n × p) için olasılık yoğunluk fonksiyonu matris terimleriyle şu şekli almaktadır:

${\displaystyle p(\mathbf {X} |\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})=(2\pi )^{-np/2}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-n/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-p/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right).}$

Burada M matrisi n × p, Ω matris p × p ve Σ matrisi n × n.

İki kovaryans matrisini tanımlamak için çeşitli alternatifler bulunmaktadır. Bir alternatif şöyle ifade edilir:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]\;,\;\;\;\;{\boldsymbol {\Omega }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]/c,}$

Burada c bir sabit olup Σ matrisine bağımlıdır ve uygun bir güç normalleştirme işleminin yapılmasını sağlamak için kullanılmaktadır.

Matris normal dağılımın şu şekilde çokdeğişirli normal dağılım ile bağlantısı bulunmaktadır: Eğer mutlaka

${\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {X} \sim N_{np}(\mathrm {vec} \;\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }}\otimes {\boldsymbol {\Sigma }}),}$

ifadesi geçerli ise

${\displaystyle \mathbf {X} \sim MN_{n\times p}(\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

olur. Burada ${\displaystyle \otimes }$ Kronecker çarpımıdır ve ${\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {M} }$ de ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ifadesinin vektörleştirilmesini gösterir.

İçsel kaynaklar

• Çokdeğişirli normal dağılım.

Kaynak