Michaelis-Menten kinetiği

Michaelis-Menten kinetiğine uyan bir enzim reaksiyonu için doyum eğrisi (bu örnekte V_max=3.4 ve K_m=0.4.

Biyokimyada Michaelis–Menten kinetiği, enzim kinetiğinin en basit ve en iyi modellerinden biridir. Alman biyokimyacı Leonor Michaelis ve Kanadalı hekim Maud Menten'e atfen adlandırılmıştır. Bu model, enzim reaksiyon hızını betimleyen bir denklem şeklindedir, reaksiyon hızı ${\displaystyle V}$, bir substrat S'nin konsantrasyonu cinsinden ifade edilir:

${\displaystyle v={\frac {V_{\max[}S]}{K_{m}+[S]}}.}$

Burada, ${\displaystyle V_{\max }}$ sistemden elde edilebilecek en yüksek reaksiyon hızıdır, enzimi doyurucu substrat konsantrasyonunda bu hıza ulaşılır. Michaelis sabiti ${\displaystyle K_{m}}$, reaksiyon hızının ${\displaystyle V_{\max }}$'ın yarısı olduğu substrat konsantrasyonudur. Genelde tek substratlı biyokimya reaksiyonlarının Michaelis–Menten kinetiğine uyduğu varsayılır, modelin varsayımlarına bakılmadan.

Model

E enzimi, S substratı, ES kompleksi ve P ürünü için zamana bağlı konsantrasyon değişimleri.

1903'te Fransız fizikokimyacısı Victor Henri, enzim reaksiyonların enzim ile substrat arasında bir bağ oluşması ile başladığını keşfetti.^[1] Onun bu çalışması, en basit enzimatik reaksiyon mekanizmalarından birinin kinetiği'ni çalışan Amerikalı biyokimyacı Leonor Michaelis ve Kanadali hekim Maud Menten tarafından devam ettirildi. Bu iki araştırmacı, invertaz tarafından sükrozun glukoz ve fruktoza dönüştüğü hidroliz reaksiyonunu inceliyordu.^[2] 1913'te bu reaksiyon için bir matematik model önerdiler.^[3] Modelde bir E enzimi bir S subtratına bağlanıp bir enzim-substrat kompleksi oluşturmakta, bu da enzim artı bir P ürününe dönüştürülmekteydi. Şematik olarak bu dönüşüm şöyle gösterilebilir:

${\displaystyle E+S\,{\overset {k_{f}}{\underset {k_{r}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{cat}}{\longrightarrow }}\,E+P}$

burada ${\displaystyle k_{f}}$, ${\displaystyle k_{r}}$ ve ${\displaystyle k_{cat}}$ hız sabitleridir, S ve ES arasındaki çifte oklar enzim-substrat bağlanmasının tersinir olduğunu belirtir.

Bazı varsayımlar ile – enzim konsantrasyonun substrat konsantrasyonundan çok daha düşük olması gibi - ürün oluşum hızı şu denklemle gösterilebilir:

${\displaystyle v=V_{\max }{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}=k_{\text{cat}}[E]_{0}{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}.}$

Reaksiyon hızı ${\displaystyle [S}$] ile birlikte artar, asimptotik olarak maksimum hız ${\displaystyle V_{\max }}$'a yaklaşır (${\displaystyle V_{\max }}$'da tüm enzim molekülleri substrata bağlıdır). Dolayısıyla ${\displaystyle V_{\max }=k_{\text{cat}}[E]_{0}}$, burada ${\displaystyle [E]_{0}}$ enzim konsantrasyonudur. ${\displaystyle k_{cat}}$ bir enzim molekülü tarafından bir saniyede substrata dönüştürülen maksimum substrat molekül sayısıdır; dönüşüm sayısı (veya etkinlik sayısı veya turnover sayısı) olarak adlandırılır.

Michaelis sabiti ${\displaystyle K_{m}}$ reaksiyon hızının yarı-maksimum olduğu substrat konsantrasyonudur ve substratın enzime bağlanma afinitesinin (ilgisinin) bir ölçüsü sayılır. Küçük bir ${\displaystyle K_{m}}$ yüksek bir afinite olduğuna işaret eder, yani reaksiyon hızı ${\displaystyle V_{\max }}$'a daha çabuk ulaşır.^[4]

Uygulamalar

Parametreler enzimden enzime büyük farklılık gösterebilir:^[5]

Enzim	${\displaystyle K_{m}}$ (M)	${\displaystyle k_{\text{cat}}}$ (1/s)	${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{m}}$ (1/M.s)
Şimotripsin	1.5 × 10^−2	0.14	9.3
Pepsin	3.0 × 10^−4	0.50	1.7 × 10^3
Tirozil-tRNA sentetaz	9.0 × 10^−4	7.6	8.4 × 10^3
Ribonükleaz	7.9 × 10^−3	7.9 × 10^2	1.0 × 10^5
Karbonik anhidraz	2.6 × 10^−2	4.0 × 10^5	1.5 × 10^7
Fumaraz	5.0 × 10^−6	8.0 × 10^2	1.6 × 10^8

${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{m}}$ sabiti enzimin substratı ürüne dönüştürmekte ne kadar verimli olduğunun bir göstergesidir. Teorik üst sınırı {nowrap|10⁸ – 10¹⁰ /M.s}} 'dır; bu değere yakın olan fumaraz gibi enzimler için "süper verimli" terimi kullanılır.^[6]

Bu model, enzim-substrat etkileşimi dışında çeşitli biyokimyasal durumlar için de kullanılır, antijen-antikor bağlanması, DNA-DNA hibridizasyonu, ve protein-protein etkileşimi gibi.^[4][7] Jenerik bir biyokimyasal bir reaksiyonun karakterizasyonu için de kullanılabilir, Langmuir denkleminin biyomoleküler molekül adsorpsiyonu jenerik olarak modellemek için kullanılması gibi.^[7] Michaelis-Menten kinetiği biyokimyasal reaksiyonlar dışında çeşitli alanlarda da kullanılmıştır,^[8] akciğer alveollerinden toz giderilmesi,^[9] popülasyonlarda biyolojik tür sayısının zenginliği,^[10] kan alkolünün giderilmesi,^[11] ve bakteriyel faj enfeksiyonu^[12] gibi.

Türetme

Kütle etkisi kanunu, bir reaksiyon hızının reaktanların konsantrasyonların çarpımı ile orantılı olduğunu belirtir. Bu kanun uygulanarak reaktanların miktarındaki ${\displaystyle t}$ zamanına bağlı değişimi ifade eden dört doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem elde edilir:^[13]

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}d[S]/dt&=&-k_{f}[E][S]&+k_{r}[ES]&\\d[E]/dt&=&-k_{f}[E][S]&+k_{r}[ES]&+k_{cat}[ES]\\d[ES]/dt&=&+k_{f}[E][S]&-k_{r}[ES]&-k_{cat}[ES]\\d[P]/dt&=&&&+k_{cat}[ES]\\\end{array}}}$

Bu mekanizmada E enzimi, sadece reaksiyonu kolaylaştıran bir katalizördür, dolayısıyla onun serbest ve bağlı halleri için toplam konsantrasyonu, ${\displaystyle [E]+[ES]=[E]_{0}}$, bir sabittir. Bu koruma yasası yukarıdaki ikinci ve üçüncü denklemlerin toplanmasıyla da elde edilebilir.^[13][14]

Hızlı denge yaklaşımı

Orijinal analizlerinde Michaelis ve Menten, substrat ile kompleksin kimyasal denge içinde olduklarını ve dolayısıyla ${\displaystyle k_{f}[E][S]=k_{r}[ES]}$ olduğunu varsaymışlardır.^[3][14] Bu eşitlik ile enzim korunum kanunu birleştirilirse, kompleksin konsantrasyonu şuna eşittir:^[14]

${\displaystyle [ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{K_{d}+[S]}}}$

Burada${\displaystyle K_{d}=k_{r}/k_{f}}$ enzim-substrat kompleksinin ayrışma sabitidir. Dolayısıyla, reaksiyonun ${\displaystyle v}$ hızı, yani P ürününün oluşum hızı şudur:^[14]

${\displaystyle v=d[P]/dt={\frac {V_{\max[}S]}{K_{d}+[S]}}}$

Burada ${\displaystyle V_{\max }=k_{cat}[E]_{0}}$ maksimum reaksiyon hızıdır.

Sürekli hal yaklaşımı

Sistemin alternatif bir analizi Britanyalı botanikçi G. E. Briggs ve Britanyalı genetikçi J. B. S. Haldane tarafından 1925'te yapıldı.^[15] Bu araştırmacılar, ürünün oluştuğu zaman ölçeğinde, ara ürün kompleksinin konsantrasyonunun değişmediğini varsaydılar; bu varsayım, "kararlı hâlimsilik varsayımı" (veya "kararlı hâl benzerliği varsayımı"; İng. quasi-steady-state assumption) veya "sahte kararlı hâl hipotezi" (pseudo-steady-state-hypothesis) olarak adlandırılır. Matematiksel olarak, bu varsayım ${\displaystyle k_{f}[E][S]=k_{r}[ES]+k_{cat}[ES]}$ anlamına gelir. Bu eşitlik ile enzim korunum kanun birleştirilince, ES kompleksin konsantrasyonu şudur:^[14]

${\displaystyle [ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{K_{m}+[S]}}}$

Burada

${\displaystyle K_{m}={\frac {k_{r}+k_{cat}}{k_{f}}}}$ ,

Michaelis sabiti olarak bilinir. Dolayısıyla reaksiyon hızı ${\displaystyle v}$ için şu sonuç çıkar:^[14]

${\displaystyle v=d[P]/dt={\frac {V_{\max[}S]}{K_{m}+[S]}}.}$

Varsayımlar ve sınırlamalar

Denklemin türetmesindeki ilk adım, kütle etkisi kanununu kullanır, ki bu serbest difüzyona dayalıdır. Oysa, canlı bir hücrenin içinde yüksek bir protein konsantrasyonu vardır, sitoplazma sıvıdan çok bir jel gibi davranır, bu yüzden molekül hareketleri sınırlıdır ve reaksiyon hızları bundan etkilenir.^[16] Kütle etkisi kanunu heterojen ortamlar için geçerli olsa da,^[17] sitoplazmanın sınırlı hareket kinetiği özelliğinin bir fraktal olarak modellenmesi daha uygun bulunmuştur.^[18]

İki yaklaşımla elde edilen reaksiyon hızı denklemleri benzerdir, aradaki fark, denge yaklaştırmasındaki sabitin ${\displaystyle K_{d}}$ olarak tanımlanması, kararlı hâlimsilik yaklaştırmasının ise ${\displaystyle K_{m}}$'yi kullanmasıdır. Ancak, bu iki yaklaşım farklı varsayımlara dayandırılmıştır. Michaelis-Menten denge analizinin doğru olması için substratın dengeye yaklaşma hızının ürün oluşumundan çok daha hızlı olması gerekir, veya daha kesin olarak,

${\displaystyle \epsilon _{d}={\frac {k_{cat}}{k_{r}}}\ll 1}$

teriminin küçük olması gerekir.^[14] Buna karşın, Briggs-Haldane kararlı hâlimsilik analizinin doğru olması için

${\displaystyle \epsilon _{m}={\frac {[E]_{0}}{[S]_{0}+K_{m}}}\ll 1}$

teriminin küçük olması gerekmektedir.^[13][19] Dolayısıyla, onun geçerli olması için enzim konsantrasyonu substratınkinden çok daha az olmalıdır. Bu şart sağlanmasa dahi, eğer ${\displaystyle K_{m}}$ büyükse bu yaklaştırma geçerlidir.

Hem Michaelis-Menten hem Briggs-Haldane analizinde, ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ küçüldükçe yaklaştırmanın kalitesi iyileşir. Ancak, enzim reaksiyonlarının modellemesinde, varsayımlar gözden geçirilmeden genelde Michaelis-Menten kinetiğinin kullanılma eğilimi vardır.^[14]

Sabitlerin belirlenmesi

${\displaystyle V_{\max }}$ ve ${\displaystyle K_{m}}$ sabitlerinin belirlenmesi için tipik yöntem, farklı substrat konsantrasyonlarında (${\displaystyle [S]}$) bir seri enzim ölçümü yapılması ve reaksiyon ilk hızının ${\displaystyle v_{0}}$ ölçülmesidir. Burada 'ilk' teriminden kasıt, reaksiyon hızının başlangıçtan sonraki nispeten kısa bir süre içinde ölçülmesidir, bu süre zarfında enzim-substrat kompleksinin oluşmuş olduğu ama, substrat konsantrasyonun yaklaşık sabit olduğu, ve dolayısıyla denge veya kararlı hâlimsilik yaklaştırmasının geçerli olduğu varsayılır.^[19] Reaksiyon hızını konsantrasyona göre grafikleyince ve Michaelis-Menten denklemi ile doğrusal olmayan regresyon yaparak, parametreler elde edilebilir.^[20]

Doğrusal olmayan regresyon yapmak için, eskiden bilgisayarlar mevcut değilken, denklemin doğrusallaştırılmasını sağlayan grafik yöntemler kullanılırdı: Eadie–Hofstee çizimi, Hanes–Woolf grafiği ve Lineweaver–Burk grafiği bunlardan bazılarıdır; Hanes–Woolf grafiği en hatasızıdır.^[20] Ancak, görselleştirme için faydalı olsalar da, her üç yöntem de verilerdeki hata dağılımını bozduğu için, doğrusal olmayan regresyonla sabitlerin bulunması kadar sağlıklı değildir.^[21] Buna rağmen, modern literatürde bu grafik yöntemler hâlâ kullanılmaktadır.^[22]

Uzantılar

Michaelis ve Menten, tek substratlı ve tersinmez ürün oluşumlu basit reaksiyonların kinetiğini incelediler. Bu teori daha sonra genişletilmiştir, kararlı hâlimsilik yaklaştırmasını daha karmaşık sistemler için de uygulayarak. Bazı örnekler aşağıda verilmiştir.

Yarışmalı inhibisyon

Bir bileşik, enzimin substrat bağlanma yerine bağlanıp enzimin reaksiyonu katalizlemesini engellerse, yarışmalı inhibisyon meydana gelir. Bu durumda inhibitör sistemin ${\displaystyle K_{m}}$'sini değiştirir, reaksiyon hızı şu şekilde değişir:

${\displaystyle v=k_{\text{cat}}[E]_{0}{\frac {[S]}{K_{m}^{\text{app}}+[S]}}}$

burada

${\displaystyle K_{m}^{\text{app}}=K_{m}\left(1+{\frac {[I]}{K_{I}}}\right)}$

görünür ${\displaystyle K_{m}}$'dir, I inhibitör bileşiktir, ${\displaystyle K_{I}}$ de onun ayrışma sabitidir.^[5]

Yarışmasız inhibisyon

Bir bileşik, enzim üzerinde substrat bağlanma yerinden farklı bir yere bağlanıp ${\displaystyle k_{\text{cat}}}$ değerini değiştirirse, yarışmasız inhibisyon meydana gelir. Reaksiyon hızı şöyle değişir:^[5]

${\displaystyle v=k_{\text{cat}}^{\text{app}}[E]_{0}{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}}$

burada

${\displaystyle k_{\text{cat}}^{\text{app}}=k_{\text{cat}}{\frac {K_{I}}{K_{I}+[I]}}}$.

Kaynakça

1. Henri, Victor (1903). Lois Générales de l’Action des Diastases. Paris: Hermann. 
2. "Victor Henri". Whonamedit?. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160304054001/http://www.whonamedit.com/doctor.cfm/2881.html. Erişim tarihi: 24 May 2011. 
3. = Menten, L.; Michaelis, M.I. (1913), "Die Kinetik der Invertinwirkung", Biochem Z 49: 333–369  (İngilizceye çevirisi)
4. Lehninger, A.L.; Nelson, D.L.; Cox, M.M. (2005). Lehninger principles of biochemistry. New York: W.H. Freeman. ISBN 978-0-7167-4339-2. 
5. Mathews, C.K.; van Holde, K.E.; Ahern, K.G. (10 Dec 1999). [ttp://www.pearsonhighered.com/mathews/ Biochemistry] (3 bas.). Prentice Hall. ISBN 978-0805330663. ttp://www.pearsonhighered.com/mathews/. 
6. Stroppolo, M.E.; Falconi, M.; Caccuri, A.M.; Desideri, A. (Sep 2001). "Superefficient enzymes". Cell Mol Life Sci 58 (10): 1451–60. DOI:10.1007/PL00000788. PMID 11693526. 
7. Chakraborty, S. (23 Dec 2009). Microfluidics and Microfabrication (1 bas.). Springer. ISBN 978-1441915429. 
8. Chen, W.W.; Neipel, M.; Sorger, P.K. (2010). "Classic and contemporary approaches to modeling biochemical reactions". Genes Dev 24 (17): 1861–1875. DOI:10.1101/gad.1945410. PMC 2932968. PMID 20810646. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=2932968. 
9. Yu, R.C.; Rappaport, S.M. (1997). "A lung retention model based on Michaelis-Menten-like kinetics". Environ Health Perspect 105 (5): 496–503. DOI:10.1289/ehp.97105496. PMC 1469867. PMID 9222134. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=1469867. 
10. Keating, K.A.; Quinn, J.F. (1998). "Estimating species richness: the Michaelis-Menten model revisited". Oikos 81 (2): 411–416. DOI:10.2307/3547060. JSTOR 3547060. 
11. Jones, A.W. (2010). "Evidence-based survey of the elimination rates of ethanol from blood with applications in forensic casework". Forensic Sci Int 200 (1–3): 1–20. DOI:10.1016/j.forsciint.2010.02.021. PMID 20304569. 
12. Abedon, S.T. (2009). "Kinetics of phage-mediated biocontrol of bacteria". Foodborne Pathog Dis 6 (7): 807–15. DOI:10.1089/fpd.2008.0242. PMID 19459758. 
13. Murray, J.D. (2002). Mathematical Biology: I. An Introduction (3 bas.). Springer. ISBN 978-0387952239. 
14. Keener, J.; Sneyd, J. (2008). Mathematical Physiology: I: Cellular Physiology (2 bas.). Springer. ISBN 978-0387758466. 
15. Briggs, G.E.; Haldane, J.B.S. (1925). "A note on the kinematics of enzyme action". Biochem J 19 (2): 338–339. PMC 1259181. PMID 16743508. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=1259181. 
16. Zhou, H.X.; Rivas, G.; Minton, A.P. (2008). "Macromolecular crowding and confinement: biochemical, biophysical, and potential physiological consequences". Annu Rev Biophys 37: 375–97. DOI:10.1146/annurev.biophys.37.032807.125817. PMC 2826134. PMID 18573087. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=2826134. 
17. Grima, R.; Schnell, S. (Oct 2006). "A systematic investigation of the rate laws valid in intracellular environments". Biophys Chem 124 (1): 1–10. DOI:10.1016/j.bpc.2006.04.019. PMID 16781049. 
18. Schnell, S.; Turner, T.E. (2004). "Reaction kinetics in intracellular environments with macromolecular crowding: simulations and rate laws". Prog Biophys Mol Biol 85 (2–3): 235–60. DOI:10.1016/j.pbiomolbio.2004.01.012. PMID 15142746. 
19. Segel, L.A.; Slemrod, M. (1989). "The quasi-steady-state assumption: A case study in perturbation". Thermochim Acta 31 (3): 446–477. DOI:10.1137/1031091. 
20. Leskovac, V. (2003). Comprehensive enzyme kinetics. New York: Kluwer Academic/Plenum Pub.. ISBN 978-0-306-46712-7. 
21. Greco, W.R.; Hakala, M.T. (1979). "Evaluation of methods for estimating the dissociation constant of tight binding enzyme inhibitors,". J Biol Chem 254 (23): 12104–12109. PMID 500698. 
22. Hayakawa, K.; Guo, L.; Terentyeva, E.A.; Li, X.K.; Kimura, H.; Hirano, M.; Yoshikawa, K.; Nagamine, T. ve diğ. (2006). "Determination of specific activities and kinetic constants of biotinidase and lipoamidase in LEW rat and Lactobacillus casei (Shirota)". J Chromatogr B Analyt Technol Biomed Life Sci 844 (2): 240–50. DOI:10.1016/j.jchromb.2006.07.006. PMID 16876490.