Nilpotent

matematik'te, Eğer bazı n pozitif tamsayılar için xⁿ = 0 varsa öyleki bir R halka'sının bir x ögesi nilpotent olarak adlandırılır

Bu terim Benjamin Peirce tarafından ^[1] bir kuvvete yükseltilmiş olduğunda kaybolan cebirin ögelerinin konusu içinde tanıtılmıştır.

Örnekler

• Bu tanım kare matris'e uygulanabilir.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

nilpotenttir çünkü A³ = 0. nilpotent matristir .

• Z/9Z faktör halkası içinde,3 ün eşdeğer sınıfı nilpotenttir çünkü 3² 0 modül 9'a uyumludur
• Bir (değişmeli olmayan) R halkası içinde a, b için varsayalımki ab = 0 yeterlidir. Böylece c = ba ögesi nilpotenttir (eğer sıfır-değilse) c² = (ba)² = b(ab)a = 0 olarak. Matrisle bir örnek (a, b için):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Burada AB = 0, BA = B.

• nilpotentin bir koni'si eş-dördeyin halkasını içerir.

Özellikler

nilpotent olmayan öge bir birim olabilir (except in the önemsiz halka {0} bunun sadece tek bir eleman vardır 0 = 1). Bütün sıfır-olmayan nilpotent ögeler sıfır kalandir.

Bir n-den-ne A matrisi ile bir alandan giriş nilpotenttir-ki yalnız ve yalnız karakteristik polinomal tⁿdir.

Eğer x nilpotent, ise 1 − x bir birim'dir,çünkü xⁿ = 0 gerektirir

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.\ }$

Daha genel olarak bir birim elemanı ve bir nilpotentlik elemanının toplamı bir birim olduğunda bunlar gider.

Değişmeli halkalar

${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ bir ideal formu ${\displaystyle R}$ değişmeli halka'dan bir nilpotent öge; binom teoremi'nin bir sonucudur. Bu ideal, halkanın nilradikal'idir. Bir degismeli halka içindeki her ${\displaystyle x}$ nilpotent öge bir asal ideal'i içerir ve buna halkanin ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$ nedeniyle ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ her asal ideali dahildir.Böylece bütün asal ideallerin arakesitini ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ olusturur

Eğer ${\displaystyle x}$ nilpotent değilse, ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$ 'in kuvvetleri sırasıyla bir sıfır olmayan halka ${\displaystyle S^{-1}R}$ için lokalize edilebilir .lokalize halkanin asal idealleri ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ asali ile ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$ nin tam karsiligidir.^[2] her sıfır-olmayan değişmeli halkada bir maksimal ideal vardır, bu asaldır, her non-nilpotent olmayan ${\displaystyle x}$ bazı asal idealleri içermez. Böylece ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ tüm asal ideallerinin tam kesişimidir.^[3]

Lie cebiri Nilpotent elemanları

Diylimki ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bir Lie cebridir. Öyleyse ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ bir ögesinin nilpotent adlandırılması ise eğer ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ve ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ bir nilpotent dönüşümdür. Ayrıca bakınız: Bir Lie cebirinde Jordan ayrışması.

Fizikte nilpotent

Bir Q islemci Q² = 0 yeterli nilpotenttir.Fermiyonik alanlar için gösterilen Grassmann sayılarınin yol integrali buradaki kare kaybolunca nilpotenttir. BRST yükü fizik içinde önemli bir örnektir. doğrusal islemciler olarak birleşimli cebirin bir formu ve böylece bir halkası, bu ilk tanımın özel bir durumudur.^[4][5] Daha genel olarak,yukarıdaki tanımların içerisinde gösterilen, bir Q işlemci eğer n∈N ise nilpotent Qⁿ = 0 (bu sıfır fonksiyon)tir. Böylece, bir doğrusal gönderme ancak ve ancak nilpotenttir.,bazı tabanlar içinde bir nilpotent matris vardır.bunun için diğer örnek dış türev (yine n = 2 ile)dir.,süpersimetri ve Morse teorisi aracılığı ile her ikisi de bağlantılıdır,^[6] Edward Wittenin ünlü bir makalesinde bu gösterilmiştir.^[7]

kaynakları olmayan bir düzlem dalganın elektromanyetik alan'ı nilpotent ise bu fiziksel cebir alanı'nın içindeki terimlerin gösterimidir.^[8]

Cebirsel nilpotentler

iki-boyutlu çift sayılar bir nilpotent uzayı içerir. Diğer cebirler ve sayılar bölünmüş dördeyler (eş-dördey) ikiz-sekizey'ler, çift-dördey'ler ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$, ve karmaşık sekizey ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$ içeren diger nilpotent uzaylar oluşturur

Ayrıca bakınız

• İdempotent elemanı
• Unipotent
• İndirgenmiş halka
• Nil İdeal

Kaynakça

1. Polcino & Sehgal (2002), p. 127.
2. Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. s. 6. ISBN 978-0-805-37025-6. 
3. Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. s. 5. ISBN 978-0-201-40751-8. 
4. Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
5. Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
6. A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714,2000 DOI:10.1088/0264-9381/17/18/309.
7. E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
8. Rowlands, P.Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1