Normalleştirme sabiti

Normalleştirme sabiti, olasılık kuramı ve matematiğin diğer çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için Gauss integrali kullanılabilir.

Tanımı ve örnekler

Olasılık kuramında bir normalleştirme sabiti, hiçbir yerde negatif olmayan bir fonksiyonun sabitidir. Bu fonksiyonun grafiği katlanabilmelidir ve bu fonksiyonu örneğin bir olasılık yoğunluk fonksiyonu veya olasılık kütle fonksiyonu yapmak için grafiğin altındaki kalan alan 1 olmalıdır.^[1][2] Örneğin fonksiyon aşağıdaki gibi olsun:

${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},x\in (-\infty ,\infty )}$

Bunun integrali şöyle olur:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}$

Burada ${\displaystyle \varphi (x)}$ fonksiyonuna aşağıdaki gibi değişken değiştirme uygulanırsa:

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}$

İntegral şöyle olur:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1}$

Buradaki ${\displaystyle \varphi (x)}$, bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.^[3] Bu, standart normal dağılımın yoğunluğudur. (Bu durumda standartta, beklenen değer 0 ve varyans 1'dir.)

Buradaki ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}}$ sabiti, ${\displaystyle p(x)}$ fonksiyonunun normalleştirme sabitidir.

Benzer şekilde,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },}$'dir.

Sonuç olarak,

${\displaystyle f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}}$

fonksiyonu, negatif olmayan tüm tamsayılar kümesinde tanımlı olasılık kütle fonksiyonudur.^[4] Bu, λ beklenen değerine sahip Poisson dağılımının olasılık kütle fonksiyonudur.

Eğer olasılık yoğunluk fonksiyonu, çeşitli parametrelere sahip bir fonksiyon olursa, bunun normalleştirme sabiti büyük olur. Boltzmann dağılımı için parametreli normalleştirme sabiti, istatistiksel mekanikte merkezi rol oynar. Bu durumda normalleştirme sabiti bölüşüm fonksiyonu olarak adlandırılır.

Referanslar

1. Continuous Distributions at University of Alabama.
2. Feller, 1968, p. 22.
3. Feller, 1968, p. 174.
4. Feller, 1968, p. 156.

Kaynakça

• Continuous Distributions at Department of Mathematical Sciences: University of Alabama in Huntsville
• Feller, William (1968). An Introduction to Probability Theory and its Applications (volume I). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25708-7.