Son değer teoremi

Matematiksel analizde son değer teoremi (SDT), frekans domeni ile ilgili bir ifadenin zaman domenindeki davranışının sonsuza yakınsak zamandaki karşılığı olan bir teoremdir. Bir son değer teoremi, frekans domeni ifadesine bir sınır koyarak doğrudan hesaplanması için zaman domeni davranışını belirler. Zaman domeni ifadesine dönüştürüldüğünde bazı sınır değerler alır.

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)}$

matematiksel olarak eğer sonlu bir sınır değeri varsa,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$ olur.

Burada ${\displaystyle F(s)}$, ${\displaystyle f(t)}$ fonksiyonunun (tek taraflı) Laplace dönüşümüdür.

Basit örnek

${\displaystyle f(t)=e^{-t}}$ olsun.

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{s+1}}}$

${\displaystyle f({\infty })=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s+1}}=0\,}$

SDT'nin savunulduğu yere örnek

Örneğin bir sistem transfer fonksiyonu ile açıklansın;

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}}}$

Bunun darbe cevabı şuna yakınsar;

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

Bu, kısa bir darbe ile tetiklendikten sonra sistem sıfıra gider. Yine de, birim adım cevaplarının Laplace dönüşümü şöyledir;

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}}$

ve buradaki darbe cevabı şuna yakınsar;

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

bu şekilde sıfır durumlu sistemin üssel artışı son değer 3'e gider.

SDT'nin savunulmadığı yere örnek

Örneğin bir sistem transfer fonksiyonu ile açıklansın;

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}}}$

Son değer teoremi, 0 olan darbe cevabının ve 1 olan adım cevabının son değerini öngörmek için kullanılır. Ne zaman domeni sınırı vardır ne de son değer teoremi öngörüleri geçerlidir. Aslında hem darbe cevabı hem de adım cevabı kararsızdır ve (bu özel durumda) son değer teoremi, kararsızlık etrafındaki cevapların ortalama değerlerini açıklar.

Kontrol teorisinde gerçekleştirilen iki kontrol vardır. Bunlar son değer teoremi için geçerli sonuçlar doğrular:

1. ${\displaystyle H(s)}$ tüm paydanın kökleri negatif gerçel kısımda olmalı.
2. ${\displaystyle H(s)}$, orjinde birden fazla kökü olmamalı.

Kural 1, bu örnekte tatmin edici değil. Çünkü paydada ${\displaystyle +j3}$ ve ${\displaystyle -j3}$ olarak iki kök var.

Ayrıca bakınız

• Başlangıç değer teoremi
• Z-dönüşümü

Dış bağlantılar

• http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Final value for Laplace
• http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Final value proof for Z-transforms