Teta gösterim

matematik'te, teta gösterim kuantum mekaniği'ndeki Heisenberg grup'unun özel bir temsilidir . Bu aslında adını Jacobi teta fonksiyonu'ndan alır.Heisenberg grubunun hareket altındaki değişmezlik gösteren ayrık bir alt grubudur. Bu gösterimi popüler eden David Mumford oldu.

Yapım

Bu teta gösterimi sürekli Heisenberg grubunun $H_3(\mathbb{R})$ gerçek sayıların alanı üzerinde bir gösterimdir. Bu gösterim, bir özelHilbert uzayı grup ögesinin hareketidir. Aşağıdaki yapı önce Heisenberg grup üreteçlerine karşılık gelen işlemcileri tanımlayarak ilerler.Daha sonra bunu hareketin tanımlanmış olduğu Hilbert uzayı izomorfizm'inin tarafından kullanılan gösteriminin bir ifadesi izler

Grup üreteçleri

Diyelimki f(z) bir holomorfik fonksiyon olsun, diyelimki a ve b gerçel sayı'lar olsun, ve diyelimki $\tau$ sabitlenebilir, ama keyfi karmaşık sayı üst yarı-düzlem içinde;böylece$\tau$ sanal kısmı pozitiftir. işlemcileri tanımlanan S_a ve T_b işlemcileri böylece holomorfik fonksiyonlar gibi davranırlar

$(S_a f)(z) = f(z+a)= \exp (a \partial_z) ~ f(z)$

ve

$(T_b f)(z) = \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+b\tau)= \exp( 2\pi i bz + b \tau \partial_z) ~ f (z) .$

Her işlemcinin bir tek-parametreli altgrup ürettiği görülebilir:

$S_{a_1} (S_{a_2} f) = (S_{a_1} \circ S_{a_2}) f = S_{a_1+a_2} f$

ve

$T_{b_1} (T_{b_2} f) = (T_{b_1} \circ T_{b_2}) f = T_{b_1+b_2} f.$

Ancak, S ve T yer değiştiremez:

$S_a \circ T_b = \exp (2\pi iab) \; T_b \circ S_a.$

Böylece S ve T ile bir nilpotent Lie grup'unun bir birimsel faz formunu birlikte görebiliriz,yani (sürekli gerçel) Heisenberg grubu, parametrize edilmiş $H=U(1)\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ burada U(1) birimsel grup'tur.

Bir genel grup ögesi $U_\tau(\lambda,a,b)\in H$ olarak sonra bir holomorfik f(z)üzerine etki eder.

$U_\tau(\lambda,a,b)\;f(z)=\lambda (S_a \circ T_b f)(z) = \lambda \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+a+b\tau)$

burada $\lambda \in U(1)$. $U(1) = Z(H)$ Hın merkez'idir ,değişmeli altgrup $[H, H]$'tır.$\tau$ parametresi $U_\tau(\lambda,a,b)$ içerisinde $\tau$ temsili her farklı bir değer grubunun eylem farklı bir farklı eyleme yol açtığını hatırlatmak için sadece hizmet vermektedir.

Hilbert uzayı

Grup ögelerinin hareketi $U_\tau(\lambda,a,b)$ fonksiyonlar belirli bir Hilbert uzayında birimsel ve indirgenemezdir. τ sabit bir değeri için,karmaşık düzlemin bir normu olarak tanımlanan tam fonksiyonu

$\Vert f \Vert_\tau ^2 = \int_{\mathbb{C}} \exp \left( \frac {-2\pi(x^2+ y^2)} {\Im \tau} \right) |f(x+iy)|^2 \ dx \ dy.$

Burada,$\Im \tau$ $\tau$nin sanal kısımdır ve integrasyonun domeni tam karmaşık düzlemdir.Diyelimki $\mathcal{H}_\tau$ tam fonksiyonun kümesi olsun f ile sonlu normdur. Bu ifade $\tau$ uzayı parametre seçimine bağlı göstermek için kullanılır $\tau$. Bu $\mathcal{H}_\tau$ bir Hilbert uzayı formudur. $U_\tau(\lambda,a,b)$'ın hareketi yukarıda birimsel olarak verilen $\mathcal{H}_\tau$'tır, bu, $U_\tau(\lambda,a,b)$Bu alan üzerinde norm korunur. Sonuç olarak,$U_\tau(\lambda,a,b)$'ın hareketi olarak $\mathcal{H}_\tau$ indirgenemeyen'dir.

İzomorfizm

Heisenberg grubunun Yukarıda teta gösterimi standart Heisenberg grubunun Weyl gösterimi'ne izomorfiktir. Özel olarak, Bu şu demektir.

$\mathcal{H}_\tau$ ve L²(R) are izomorfik oarak H-modül. Diyelimki

$\operatorname{M}(a,b,c) = \begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$H_3(\mathbb{R})$ bir genel grup ögesi için durur.Standart Weyl temsili ile, Her reel sayı için h, burada bir

gösterim $\rho_h$ acting on L²(R) olarak

$\rho_h(M(a,b,c))\;\psi(x)= \exp (ibx+ihc) \psi(x+ha)$

için $x\in\mathbb{R}$ and $\psi\in L^2(\mathbb{R})$.

Burada, h Planck sabiti'dir. Bu gösterime belirsizlik birimi denir. Buna karşılık gelen teta temsilidir:

$M(a,0,0) \to S_{ah}$

$M(0,b,0) \to T_{b/2\pi}$

$M(0,0,c) \to e^{ihc}$

Ayrık altgruplar

Altgrubun tanımı $\Gamma_\tau\subset H_\tau$ olarak

$\Gamma_\tau = \{ U_\tau(1,a,b) \in H_\tau : a,b \in \mathbb{Z} \}.$

Jacobi teta fonksiyonu olarak tanımlanır.

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z).$

z değişmez altında bu bir tam fonksiyon'dur $\Gamma_\tau$. Bu teta işlevinin özelliklerinin devamı:

$\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)$

ve

$\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)$

ise aveb tamsayıdır. Bu Jacobi teta benzersiz bir işlevi olduğu gösterilebilir.

Kaynakça

• David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7