Yarıdoğrusal dönüşüm

Doğrusal cebir'in, özellikle izdüşümsel geometrinin, K alanı üzerinde V ve W vektör uzayı arasında bir yarıdoğrusal dönüşüm "Bir büküm kadar" bir doğrusal dönüşümün bir fonksiyonudur,dolayısıyla yarı-doğrusal ,burada "büklüm" K'nın özyapı alanı anlamına gelir. Açıkça, bu ;

${\displaystyle T\colon V\to W}$fonksiyonu şu olur:

• Ayrıca vektör ile ilgili olarak doğrusal: ${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• Skalar çarpımına göre yarıdoğrusal: K'nın skalar ${\displaystyle \lambda }$ özyapısının altında ${\displaystyle T(\lambda v)=\lambda ^{\theta }T(v),}$ görüntüsü anlamına gelir.

Burada T durumu içinde T, için tek özyapı θ olmalıdır ve θ-yarıdoğrusal denir.

Verilen vektör uzayı V bölgesinin tersine çevrilebilir yarıdoğrusal dönüşümleri (alan özyapısı tüm seçenekleri için) bir grup oluşturur,bu genel yarıdoğrusal grup olarak adlandırılır ve ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$ ile ifade edilir, benzer şekilde ve genel doğrusal grup olarak uzanmaktadır.

Benzer gösterim (Latin karakterler yerine yunanca ) daha kısıtlı doğrusal dönüşümlerinin yarıdoğrusal analogları için kullanılır; resmi olarak,özyapı alanının Galois grubu ile bir lineer grubunun yarıdirekt çarpımıdır. Örneğin, izdüşümsel özel üniter grubu PSU'nun yarıdoğrusal analogları için PΣU kullanılır.Ancak ;son zamanlarda bu genelleştirilmiş yarıdoğrusal grupların iyi tanımlanmış olmadığının dikkati çekmesi unutulmamalidir, Bray, Holt & Roney-Dougal 2009 belirttiği gibi - izomorfik klasik gruplarG ve H (SL alt grupları) izomorfik olmayan yarıdoğrusal uzantıları olabilir. yarıdirekt çarpım düzeyinde, bu belirli bir soyut grup, iki grup ve bir eylem bağlı bir yarıdirekt çarpım üzerinde Galois grubunun farklı eylemlerine karşılık gelir. İki yarıdoğrusal uzantıları tam olarak vardır, örneğin, simplektik grupların eşsiz bir yarıdoğrusal uzantısı vardır, n çift ve q tek ise SU ( n, q) iki uzantıya sahiptir iken garip, ve aynı durum PSU içindir.

Tanım

Diyelimki K bir alan olsun ve k onun asal altalanıdır. Örneğin, Eğer K C ise k Qdur, ve eğer K ${\displaystyle q=p^{i},}$ yerine sonlu alan ise k ${\displaystyle \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} .}$ dır

Knın verilen bir özyapısı ${\displaystyle \theta }$ , bir fonksiyon ${\displaystyle f\colon V\to W}$ V ve W arasındaki K vektör uzayı ${\displaystyle \theta }$-yarıdoğrusaldır, veya basitçe yarıdoğrusal, eğer tüm V içindeki ${\displaystyle x,y}$ için ve ${\displaystyle l}$ in K içindeki aşağıdadır:

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(lx)=l^{\theta }f(x),}$

burada ${\displaystyle \theta .}$ altında ${\displaystyle l}$'nın görüntüsü ${\displaystyle l^{\theta }}$ olarak adlandırılır

Unutmadan bir özyapı alanı f için ${\displaystyle \theta }$ ya katkılı olmalı , örneğin, ${\displaystyle \theta }$ sabit bir asal alan olmalı

${\displaystyle n^{\theta }f(x)=f(nx)=f(x+\dots +x)=nf(x)}$

Ayrıca

${\displaystyle (l_{1}+l_{2})^{\theta }f(x)=f((l_{1}+l_{2})x)=f(l_{1}x)+f(l_{2}x)=(l_{1}^{\theta }+l_{2}^{\theta })f(x)}$

böylece ${\displaystyle (l_{1}+l_{2})^{\theta }=l_{1}^{\theta }+l_{2}^{\theta }.}$ sonuç olarak,

${\displaystyle (l_{1}l_{2})^{\theta }f(x)=f(l_{1}l_{2}x)=l_{1}^{\theta }f(l_{2}x)=l_{1}^{\theta }l_{2}^{\theta }f(x)}$

Her doğrusal dönüşüm yarıdoğrusaldır, ancak tersi genelde doğru değildir. Eğer küzerinde V ve W vektör uzayı olarak davranırsak (k ilk üzerindeki K tarafından vektör uzayı olarak düşünürsek ) her ${\displaystyle \theta }$-yarıdoğrusal grubu bir k-doğrusal haritadır, burada k ifadesi Knın asal altalanıdır

Örnekler

• Diyelimki ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ ile standart tabanı ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}.}$ dır ${\displaystyle f\colon V\to V}$ haritasının tanımı ile

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

f yarıdoğrusal (karmaşık bir birleştirme alanı ile ilgili olarak özyapı) ama doğrusal değildir.

• Diyelimki ${\displaystyle K=GF(q)}$ – ${\displaystyle q=p^{i},}$ yerinin Galois alanı p karakteristiktir. Diyelimki ${\displaystyle l^{\theta }=l^{p}.}$ Freshman'ın rüyası olarak bilinen bir özyapı alanıdır.${\displaystyle f\colon V\to W}$ her doğrusal haritaya K üzerinde V ve W vektör uzayı arasında bir ${\displaystyle \theta }$-yarıdoğrusal haritayı kurabiliriz

${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}l_{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}l_{i}^{\theta }e_{i}\right)}$

Gerçekten de, her doğrusal harita bir şekilde bir yarıdoğrusal harita haline dönüştürülebilir. Bu, aşağıdaki sonuç toplanmış genel gözlemin bir parçasıdır.

Genel yarıdoğrusal grup

Verilen bir V, vektör uzayı tüm tersinebilir yarıdoğrusal haritanın kümesi (Tüm alan özyapısı üzerinde) gruptur ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V).}$

K, üzerinde verilen bir V, vektör uzayı ve K,nın asal altalanı k ise ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ yarıdirekt çarpımına ayrışır

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Gal} (K/k)}$

burada Gal(K/k) ${\displaystyle K/k.}$ nın Galois grubudur Benzer şekilde, diğer doğrusal grupların yarıdoğrusal dönüşümü Galois grubu ile yarıdirek çarpımı olarak veya daha özünde bazı özelliklerini koruyarak bir vektör alanının yarıdoğrusal haritaların grubu olarak tanımlanabilir,. ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ nın bir altgrubu ile eş Gal(K/k) by V için B tabanına sabitlenmiş bir yarıdoğrusal haritaları tanımlanıyor:

${\displaystyle \sum _{b\in B}l_{b}b\mapsto \sum _{b\in B}l_{b}^{\sigma }b}$

Herhangi ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (K/k).}$ için. Bize bu Gal(K/k)_B alt grubunu ifade edecektir.Ayrıca gördüğümüz ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ içinde GL(V)'ye tamamlayıcı harekettir ve bu GL(V) tarafından düzenlenmiş bu tabanın bir değişimine karşılık gelir.

Kanıt

Her doğrusal harita yarıdoğrusaldır, böylece ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V).}$ V.nin sabitlenmiş bir tabanı B dir.Şimdi herhangi yarıdoğrusal harita f verildi.sırasıyla ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (K/k),}$ bir alan özyapısı ise ${\displaystyle g\colon V\to V}$ ile tanımı

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}l_{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(l_{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}l_{b}f(b)}$

f(B) ayrıca V,nin bir tabanıdır g aşağıdadır ve V nin basit bir taban değişikliği ve böylece doğrusal ve tersinirdir: ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (V).}$

${\displaystyle h:=fg^{-1}.}$ kümesi V, içindeki her ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}l_{b}b}$ için

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}l_{b}^{\sigma }b}$

Böylece h Gal(K/k) altgrubu içindedir B tabanına göre sabitlenmiştir. Bu bölümleme B tabanına sabitlenmiş benzersizliktir.Ayrıca, GL(V) Gal(K/k)_B nin hareketi tarafından normalizedir,böylece ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Gal} (K/k).}$

Uygulamalar

İzdüşümsel geometri

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ gruplar GL(V) içinde tipik klasik grupların uzantısıdır.izdüşümsel geometri dikkate alındığında aşağıdaki dönüşüm türü dönüşümler dikkate alınmasinin önemi şöyledir. ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ nın uyarılmış hareketi olarak ilişkili vektör uzayı P(V) nin verisi, ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V),}$ izdüşümsel doğrusal grup uzantısı, PGL(V) ile ifade edilir.

Bir V, vektor uzayının izdüşümsel geometrisi PG(V), ifadesi Vnin tüm altuzayının kafesidir.Tipik yarıdoğrusal harita doğrusal bir dönüşüm olmamasına rağmen, bu her ${\displaystyle f\colon V\to W}$ yarıdoğrusal dönüşümü takip eder ve bir sıra-korunarak ${\displaystyle f\colon PG(V)\to PG(W).}$ dönüşümü uyarılır.Böylece, her yarıdoğrusal dönüşüm bir izdüşümselliki uyarır. Bu gözlemin tersi(izdüşümsel hattı hariç) izdüşümsel geometrinin temel teoremidir. Bunlar bir vektör alanının izdüşümsel geometri özyapılarını tanımlar olduğundan böylece yarıdoğrusal dönüşüm kullanışlıdır

Mathieu grubu

Mathieu grubu M₂₄ yapısı için PΓL(3,4) grubu kullanılabilir,sporadik basit grupların tekidir; PΓL(3,4) M₂₄ nin bir maksimal altgrubudur, ve burada tam Mathieu grubuna uzanan birçok vardır.

Kaynakça

• Gruenberg, K. W. and Weir, A.J. Linear Geometry 2nd Ed. (English) Graduate Texts in Mathematics. 49. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag. X, 198 pp. (1977).
• Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Certain classical groups are not well-defined", Journal of Group Theory 12 (2): 171–180, ISSN 1433-5883, Şablon:MathSciNet 

Şablon:PlanetMath attribution