İntegrallenebilir kare fonksiyon

matematik'te, bir İntegrallenebilir kare fonksiyon, ayrıca bir kuvadratik integrallenebilir fonksiyon olarak da adlandırılır, bir gerçek- veya karmaşık-değerli ölçülebilir fonksiyonu için bu mutlak değer'in karesinin integral'i sonludur. Böylece,Eğer

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx<\infty ,}$

ise ƒ olarak gerçel hat ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$dır.Bir de gibi sınırlı aralıklarla üzerinde kuadratik integrallenebilmeden söz edilebilir [0, 1].^[1]

Özellikler

İntegrallenebilir kare fonksiyonların bir formu İç çarpım uzayını oluşturur bunun iç-çarpım'ı aşağıda verilendir;

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx}$

burada

• f ve g integrallenebilir kare fonksiyonlarıdır,
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}\ }$ f in karmaşık eşleniği'dir
• A bir integrasyon üzerindeki kümedir—Yukarıdaki ilk örnekte, A ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$dır; ikincisinde, A i [0, 1]'dır.

Mademki |a|² = a  ${\displaystyle {\overline {a}}\ }$, bu integrallenebilir kare söylemekle aynıdır

${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$

Bu integrallenebilir kare fonksiyonların yukarıda tanımlanan iç çarpım tarafından metrik uyarılma altında bir tam metrik uzay oluşturdukları gösterilebilir Bir norm tarafından uyarılan metriğin tam altında olan uzay bir Banach uzayıdır

Tam bir metrik uzay olan bu uzaya Cauchy uzayı'da denir,çünkü Bu metrik uzaylarda dizilerin yalnızca Cauchy ise yakınsama Cauchy dizisidir.

Bu nedenle integrallenebilir kare fonksiyonların uzayıdır, bir Banach uzayıdır, norm tarafından uyarılan metriğin altındaki bir Banach uzayıdır. Bizim iç çarpımın ek özelliği var, bu özel olarak bir Hilbert uzayı'dır, çünkü iç çarpım uzayı tarafından uyarılan metrik tam altındadır. Bu iç çarpım uzayı geleneksel olarak ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ile gösterilir ve çoğu zaman ${\displaystyle L_{2}}$ olarak kısaltılır. Unutmadan ${\displaystyle L_{2}}$ grubu temsil eder,İntegrallenebilir kare fonksiyonların, ama metriğin hiçbir seçimi, norm veya iç çarpım bu gösterim tarafından belirlenir.ama Bu gösterim tarafından belirtilen metrik norm veya iç çarpımın seçimi yoktur Beraber özel bir iç çarpım grubudur,${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$ iç çarpım uzayına özeldir.

İntegrallenebilir kare fonksiyonlar uzayı L^p uzayı'dır bunun içinde;  p = 2.

Kaynakça

1. G.Sansone (1991). Orthogonal Functions. Dover Publications. s. 1-2. ISBN 978-0-486-66730-0.