Bağlantı (ana demet)

Matematikte, bir bağlantı üzerinde paralel taşımanın bir kavramını tanımlayan bir araçtır; Şöyleki, bir "bağlantı" veya en yakın noktalar üzerinde özdeş lifler için bir yoldur bir M düzgün manifold üzerinde P bir ana G-demet üzerinde bir ana G-bağlantı ve bu bağlantının özel bir tipidir ve grup G nin hareketi ile karşılaştırılabilir.

Bir ana bağlantı bir Ehresmann bağlantısı kavramının özel bir durumu olarak gösterilebilir ve bazen bir ana Ehresmann bağlantısı denir.Bu herhangi lif demeti üzerinde bağlantılar(Ehresmann) birleşmeli demet yapımı yoluyla P için ilişkiye yol açar. Özelde,herhangi birleşmeli vektör demeti üzerinde ana bağlantı bir eşdeğişken türev uyarır, böyle bir işlemci taban manifold içinde teğet yönler boyunca bu demetlerin bu dilimleri diferansiyellenebilir.Ana demetler bir düzgün manifoldun çerçeve demeti üzerinde bir doğrusal bağlantının keyfi ana demetler kavramı için genelleştirilebilir.

Resmi tanım

Diyelimki π:P→M bir M düzgün manifold üzerinde bir düzgün ana G-demet olsun.O zaman bir P üzerinde bir ana G-bağlantı ve G'nin bu P Lie cebri içindeki değerler ile ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ üzerinde bir diferensiyel 1-form G-eşitdeğişken ve yeniden üretme P üzerinde ana vektör alanları'nın Lie cebri üreteçleri dir.

Diğer bir değişle, bu ω , ${\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P)\otimes {\mathfrak {g}}}$ nin bir ögesidir böylece

1. ${\displaystyle {\hbox{ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$ burada R_g g ile sağ çarpım ifadesidir, ve ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (açıkçası, ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}}$) üzerinde ek gösterimdir;
2. Eğer ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ ve X_ξ P üzerinde G hareket diferansiyasyonu ile ξ için ilişkili P üzerinde vektör alanı, ise ω(X_ξ) = ξ ( P üzerinde eştir).

Bazen ana G-bağlantı terimleri (P,ω) ve ω çiftinin kendisi için adlandırma olarak ana bağlantının bağlantı formu veya bağlantı-1-formu denir.

Ehresmann bağlantıları ile ilişki

P üzerinde bir ana G-bağlantı aşağıdaki yol içinde P üzerinde ω bir Ehresmann bağlantısı içinde üzerinde belirlenir. ilkinci note that the temel vektör alanları generating the G action on P provide a bundle isomorphism ( Pnin tanıtım örtüsü) dan demet VP ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$ ye, burada VP = ker(dπ) is the kernel of the teğet eşleme ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$ which is called the vertical bundle of P. It follows that ω determines uniquely a bundle map v:TP→V which is the identity on V. Such a projection v is uniquely determined by its kernel, bu TPnin H düzgün bir altdemeti (yatay demet denir) böylece TP=V⊕H. Bu bir Ehresmann bağlantısıdır.

Aksi takdirde, P üzerinde bir Ehresmann bağlantısı H⊂TP (veya v:TP→V) bir ana G-bağlantısı ω tanımlar,ancak ve ancak bu ${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$ anlamında G-eşitdeğişkendir.

Bir yerel önemsizleştirme içinde form

Bir ana demet P'nin bir yerel önemsizleştirmesi M nin U bir açık altkümesi üzerinde P nin bir s kesiti ile veriliyor . Then the pullback s^*ω of bir temel bağlantılar ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$'nin içinde değerler U üzerinde bir 1-formdur.Eğer s kesiti yerine konularak bir yeni sg kesiti (sg)(x) = s(x)g(x) ile tanımlanıyor,burada g:M→G ve (sg)^*ω = Ad(g)⁻¹ s^*ω+g⁻¹dg ise bir düzgün haritadır.Ana bağlantı ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-değerli 1-formlarının ailesi ile eşsizlik belirlenir ve özel olarak daha eski veya daha fazla fizik odaklı literatür içinde bu 1-formların ayrıca bağlantı formlarıdır veya 1-formların bağlantısı denir.

Ana bağlantıların demeti

Grup G sağ öteleme ile teğet demet TP üzerinde hareketlerdir.Bölüm uzayı TP/G ayrıca bir manifoldtur, ve TM üzerinde bir lif demetinin yapısını devralır bu dπ:TP/G→TM olarak ifade edilmişti. Diyelimki ρ:TP/G→M M üzerine izdüşüm olsun.Bir eklemeli yapı taşıyan ρ izdüşümü altında TP/G demetinin lifleridir.

TP/G demetine ana bağlantıların demeti Kobayashi 1957 denir.dπ:TP/G→TM nin bir dilimi ve Γ böylece Γ : TM → TP/G M üzerinde vektör demetlerinin bir doğrusal morfizmdir, P içinde bir ana bağlantı ile tanıtılabilir.Aksine, bir ana bağlantı TP/G nin Γ bir kesiti gibi yukarıda tanımlandığı gibi ortaya çıkarmaktadır.

Sonuç olarak, diyelimki Γ bu anlamda içinde bir ana bağlantı olsun. Diyelimki q:TP→TP/G bölme eşlemesi olsun,bağlantının yatay dağılım demeti

${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.}$

Afin özellik

Eğer ω ve ω' ana bağlantılar bir ana demet P üzerinde, ise ω' - ω farkı bir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-değerli 1-form P üzerinde yalnızca bu G-eşitdeğişken değildir, ama bu anlamda yatay içinde Pnin V dikey demetinin herhangi bir dilimi üzerinde bu kayboluyor. Dolayısıyla bu temel ve böylece ek demet içindeki değerleri ile M üzerinde bir 1-form ile tanımlanıyor

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times _{G}{\mathfrak {g}}.}$

Diğer taraftan, Bu tür bir biçim P üzerinde (geriçekme yoluyla) bir G-eşitdeğişken yatay 1-form üzerinde tanımlanıyor, ve ana G-bağlantılarının uzayı 1-formların bu uzay için bir afin uzayıdır.

Uyarılmış değişken ve dış türevler

G nin herhangi doğrusal gösterimi W için burada M üzerinde bir birleşmeli vektör demeti ${\displaystyle P\times _{G}W}$, ve bir ana bağlantı herhangi vektör demeti gibi üzerinde bir eşdeğişken türev uyarır.Bu eşdeğişken türev M üzerinde ${\displaystyle P\times _{G}W}$ nin dilimlerinin uzayı aslında kullanılıp tanımlanabilir ve P üzerinde G-eşitdeğişken W-değerli fonksiyonların uzayı için izomorfiktir . Daha da geneli,k-formlar içindeki değerleri ile ${\displaystyle P\times _{G}W}$ nin uzayı is P üzerinde identified with the space of G-eşitdeğişken ve yatay W-değerli k-formların on . Eğer α bir k-form gibi, ise bu dış cebir dαdir,G-eşitdeğişkene rağmen, uzun yatay değildir. Bununla birlikte,düzenleme dα+ωΛα dir. Bu ${\displaystyle P\times _{G}W}$-değerli (k+1)-formlar için M üzerinde ${\displaystyle P\times _{G}W}$-değerli k-formlardan bir dış eşdeğişken türev d^ω tanımlanıyor .Özel olarak, eğer k=0 ise, ${\displaystyle P\times _{G}W}$ üzerinde biz bir eşdeğişken türev elde ederiz.

Eğrilik formu

Bir ana G-bağlantısı ω'nın Eğrilik formu ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-değerli 2-form Ω ile tanımlanıyor

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

Bu G-eşitdeğişken ve yataydır , bu nedenle ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$ içinde değeri ile M üzerinde bir 2-form için denk gelir . bu nicelik ile eğriliğin kimliği bazen ikinci yapı denklemi diye adlandırılır.

Çerçeve demetler üzerinde bağlantılar ve burulma

Eğer ana demet P çerçeve demet, veya (daha geneli) eğer bu bir katı form, ise bağlantı bir afin bağlantının bir örneğidir ve eğri yalnızca değişmez değildir, bu bağlamda katı form θnın eklemeli yapısı, bu Püzerinde bir eşitdeğişken Rⁿ-değerli 1-form,dikkate alınmalıdır. özel olarak,P üzerinde burulma formu,bir Rⁿ-değerli 2-form Θ ile tanımı

${\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .}$

Θ G-eşitdeğişken ve yatay, ve böylece bu inenler M üzerinde bir teğet-değerli 2-form için, burulma olarak adlandırılır. Bu denklem bazen ilk yapı denklemi olarak adlandırlır.

Kaynakça

• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Theory of Connections", Ann. Mat. Pura Appl. 43: 119–194, DOI:10.1007/BF02411907 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New bas.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3 
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993) (PDF), Natural operators in differential geometry, Springer-Verlag, http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf