Bessel–Clifford fonksiyonu

Matematiksel analiz'deBessel–Clifford fonksiyonu, Friedrich Bessel ve William Kingdon Clifford anısına atfetdilen iki kompleks değişken'li bir Tam fonksiyondur. Bu teori Bessel fonksiyonuna alternatif bir gelişme temin etmek için kullanılabilir.

${\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}$ ise

ters Gama fonksiyonu vasıtası ile tam fonksiyonu ile tanımlanabilir,daha sonra Bessel-Clifford fonksiyon serisi tanımlandı

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}$

z/k (n + k),ardışık terimlerin oranı z nin tüm değerleri için ve artan  k ilen sıfıra gitme eğilimindedir. oran testi ile bu seri tüm z ve  n için kesinlikle yakınsaktır, düzgün |z|'nin sınırlı olan tüm bölgeleri için düzgündür ve bunun sonucu olarak Bessel–Clifford fonksiyonu iki karmaşık değişkenn ve  z bir tam fonksiyondur .

Bessel-Clifford fonksiyonunun diferansiyel denklemi

yukarıdaki seriden sırasıyla x ve ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(x)}$ diferansiyeli aşağıdaki doğrusal ikinci derece homojen diferansiyel denklem'ini karşılar.

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y.\qquad }$

Bu denklem, genelleştirilmiş hipergeometrik tip olup aslında Bessel–Clifford fonksiyonu Pochhammer–Barnes hipergeometrik fonksiyonu'nun bir ölçeklendirme faktörü kadardır;

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).}$

n negatif olmadığı sürece,bu durumda sağ taraftaki tanımsızdır, İki tanım esasen eşittir; böylece z = 0 değerinde normalize edilen hipergeometrik fonksiyonu tektir.

Bessel fonksiyonları ile ilişkisi

Bessel–Clifford fonksiyonu birinci tür Bessel fonksiyonu açısından tanımlanabilir.

${\displaystyle J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);}$

Eğer n tamsayı değilse biz Bessel fonksiyonunun tam olmadığından sözedebiliriz. Benzer biçimde, birinci tür modifiye Bessel fonksiyonundada tanımlanabilir.

${\displaystyle I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}$

prosedür tabii ki tersine çevrilebilir,böylece Bessel–Clifford fonksiyonu tanımlanabilir,

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});}$

Birinci tür Bessel–Clifford fonksiyonu açısından tanımlanabilir;

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tam idi.

Bessel fonksiyonu

Hemen bu takiple tanımlanan seriden ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 'yi yerine kullanarak diferansiyel denklemi düzeltip yazmak istersek

${\displaystyle x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),}$ bu formül için

Bessel–Clifford fonksiyonu için tekrarlama ilişkisini tanımlar,sub>0F₁ için bu eşitlikteki benzer bir ilişkidir.Gauss sürekli kesri'nin özel bir durumudur.

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}$

Bu sürekli kesrin her durumda yakınsak olduğu gösterilebilir.

İkinci türden Bessel-Clifford fonksiyonu

${\displaystyle xy''+(n+1)y'=y\qquad }$

İki lineer bağımsız çözümü vardır,diferansiyel denklemin bir düzgün tekil noktası orijindedir, ve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tam olduğundan,İkinci çözüm başlangıç ​​noktasında tekil olmalıdır. Bizim yapı

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}}$

${\displaystyle \Re (x)>0}$ için yakınsak,ve analitik devamlıdır,bu diferansiyel denklem için ikinci bir lineer bağımsız çözüm elde edilebilir.. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ifadesine 1/2 faktorü eklenerek yerleştirilir,ikinci türden Bessel fonksiyonlarına karşılık gelir. Elimizde olan

${\displaystyle K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

ve

${\displaystyle Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

terimler içinde K da var;

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).}$

Bu nedenle tıpkı birinci tür Bessel fonksiyonu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ her iki cinsindende ifade edilebilir ve modifiye Bessel fonksiyonu ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ her iki cinsindende ifade edilebilir.

Üreteç fonksiyonu

exp(t) için mutlak yakınsak seri ile çarparsak ve exp(z/t) birlikte,(eğer t sıfır değilse) mutlak yakınsak seri ile exp(t + z/t)serisini alırsak, t ortak termdir,${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ için Biz kuvvet serileri tanımı ile karşılaştırma bulabiliriz. Şu var

${\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).}$

Bu üreteç fonksiyonu sonra daha fazla formülleri elde etmek için kullanılabilir,özellikle de kullandığımız Cauchy integral formülü ve tamsayı n için ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ olarak elde edilir.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(z+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z(1+\exp(-i\theta ))-ni\theta ))\,d\theta .}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynaklar

• Clifford, William Kingdon (1882), "On Bessel's Functions", Mathematical Papers (London): 346–349 .
• Greenhill, A. George (1919), "The Bessel–Clifford function, and its applications", Philosophical Magazine Sixth Series: 501–528 .
• Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie, Note IV, Paris .
• Schläfli, Ludwig (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata 2 (I): 232–242 .
• Watson, G. N. (1944), A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Second bas.), Cambridge: Cambridge University Press .
• Wallisser, Rolf (2000), "On Lambert's proof of the irrationality of π", Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F., Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Berlin: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7 .