Gauss sürekli kesri

Gauss sürekli kesri karmaşık analiz'de, hipergeometrik fonksiyon'dan türetilen sürekli kesirler'in özel sınıfıdır.ilk analitik sürekli kesirler matematik biliniyordu, ve önemli Temel fonksiyon'ların yanı sıra bazıları daha komplike aşkın fonksiyon'uda temsil etmek için kullanılabilir.

Tarihçe

Lambert 1768 yılında sürekli kesirlerin çeşitli örnekleriniformülünü yayınlanan , ve Euler ve Lagrange ikilisi benzer yapıları incelenmiştir,^[1] ama Bu sürekli kesirlerin genel formu anlamak için sonraki bölümde açıklanan zekice cebrik hüner kullananCarl Friedrich Gauss'tur, in 1813.^[2]

Gauss bu sürekli kesirlerin şeklinde vermesine rağmen,yakınsaklık özelliklerinin kanıtını vermedi Bernhard Riemann^[3] and L.W. Thomé^[4] kısmi sonuçlar elde etti,Ama bu sürekli kesirlerin yakınsadığı bölge hakkındaki son sözü 1901 Edward Burr Van Vleck tarafından yılına kadar verilmiştir .^[5]

Türevleri

öğle ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$ Analitik fonksiyonlar dizisi olsunki

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

${\displaystyle i>0}$tümü için, burada her bir${\displaystyle k_{i}}$ is bir sabittir.

sonra

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},\,{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$.

çerçeve ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1}}$ şeklindedir,

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}}}$,

böylece

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\dots \ }$.

Bunun sonsuza tekrarlanmasıyla sürekli kesirler ifadesi üretiliyor

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

Gauss sürekli kesirler olarak, fonksiyonlar ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ formu,${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$, ve ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ve hipergeometrik fonksiyonları ve denklemler ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ parametrelerin tam sayı miktarlarda farklı işlevleri arasında özellikler olarak ortaya çıkmaktadır. Bu özellikler,dizi açılımı ve katsayıları karşılaştırılarak veya çeşitli şekillerde türev alarak ve oluşturulan denklemleri onu ortadan kaldırarak,örnek çeşitli şekillerde ispat edilebilir.

₀F₁ serisi

basit durumu içerir

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots \ }$.

özelliği ile başlayarak

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;a-1;z)-\,_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(;a+1;z)}$,

alarak

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(;a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}}}$,

veriliyor

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

veya

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}}$.

Bu iki seri oranı ile ( tabiki bu,bir sıfır ya da negatif olmayan ile sağlanan tam sayıdır) meromorfik fonksiyon olarak tanımlanan iki yakınsak açılım;

₁F₁ serisi

Bu son durum içinde

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\dots }$

iki eşitlik için

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

değişik olarak kullanılır.

böylece

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z)}$,

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z)}$,

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z)}$,

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z)}$,

gibi.

verilen ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ burada ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$,

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

veya

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Aynı şekilde

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

veya

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$'den dolayı, se a ya 0 ve b + 1 ile b konularak ilk sürekli kesir içnde basit özel bir durum ilk sürekli kesir içinde verilir:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

₂F₁ serisi

bu son durum içinde

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\dots \,}$.

Tekrar iki değişik kullanım

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$.

Burada aynı eşitlikler aslında with a ve b aralarında değiştirilebilir.

Böylece

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$,

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}$,

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z)}$,

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z)}$,

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z)}$,

gibi.

verilen${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ ile burada ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$, ürünü

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

veya

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$ bağıntısından, a ya 0 ve cyerine + 1 ye ile c sürekli kesirler basitleştirilmiş bir özel bir durumunu verir:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Uygulamalar

₀F₁ serisi

elimizde

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

var. böylece

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Bu özel açılım Lambert sürekli kesri olarak bilinir ve 1768'tarihine dönerek.^[6]

bu aşağıda kolayca

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

tanh için eⁿ açılımı kullanılabilir her ntamsayısı için irrasyoneldir (e aşkın)'dır. Lambert ve Legendre ikilisi tarafından π'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamak için bu açılım kullanıldı.

Bessel fonksiyonu ${\displaystyle J_{\nu }}$ yazılabilir

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(;\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

dan aşağıda

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Ayrıca her karmaşık z değeri için buradaki form.

₁F₁ serisi

Since ${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$, ${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}$.

Bazı manipülasyonlarda, Bunun basit sürekli kesirlerini temsil ve kanıt için kullanılabilirler e,

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Hata fonksiyonu erf (z),

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}dt,}$

ile verilir Ayrıca Kummer hipergeometrik fonksiyon açısından hesaplanabilir:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

her karmaşık sayı z için geçerli bir açılım uygulayarak Gauss sürekli kesri elde edilebilir:^[7]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Benzer bir argüman Fresnel integrali,Dawson fonksiyonu,tamamlanmamış Gama fonksiyonu için sürekli kesirler açılımlarını türetmek için yapılabilir.üstel fonksiyon tartışmanın daha basit bir versiyonudur.^[8]

₂F₁ serisi

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z)}$,

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

arctan z Taylor serisi açılımını kolayca göstermek için sıfır komşuluğunda verilen

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

Bu özellikle z = 1 olduğu zaman sürekli kesirler oldukça hızlı yakınsar,dokuzuncu yakınsak tarafından π / 4'ün yedi ondalık değeri verir.İlgili serisi

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\dots }$

Gerekli yedi ondalık doğruluk verimi için bir milyondan fazla terimleri ile , çok daha yavaş yakınsar.^[9]

Doğal logaritma'nın sürekli kesirler açılımlar üretmek için bu Arcsin fonksiyonu ve genelleştirilmiş binom serileri argümanın varyasyonları kullanılabilir.

Notlar

1. Jones & Thron (1980) p. 5
2. C. F. Gauss (1813), Werke, vol. 3 pp. 134-138.
3. B. Riemann (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita" in Werke. pp. 400-406. (Posthumous fragment).
4. L. W. Thomé (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...," Jour. für Math. vol. 67 pp. 299-309.
5. E. B. Van Vleck (1901), "On the convergence of the continued fraction of Gauss and other continued fractions." Annals of Mathematics, vol. 3 pp. 1-18.
6. Wall (1973) p. 349.
7. Jones & Thron (1980) p. 208.
8. See the example in the article Padé table for the expansions of e^z as continued fractions of Gauss.
9. Jones & Thron (1980) p. 202.

Kaynakça

• Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). Continued Fractions: Theory and Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. s. 198–214. ISBN 0-201-13510-8. 
• Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions. Chelsea Publishing Company. s. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8. 
  (This is a reprint of the volume originally published by D. Van Nostrand Company, Inc., in 1948.)
• Eric W. Weisstein, Gauss's Continued Fraction (MathWorld)