Beta fonksiyonu

beta fonksiyonunun kontür çizimi

Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, ${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}$

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$

yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:

${\displaystyle \mathrm {B} (x)={\dfrac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$

Burada ${\displaystyle \Gamma \,}$ gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$.

${\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi }$.

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Ayrıca her ${\displaystyle n}$ tamsayısı için, ${\displaystyle \mathrm {B} \,}$'nın ${\displaystyle k}$ sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}$

Şimdi, ${\displaystyle u\equiv a^{2}}$, ${\displaystyle v\equiv b^{2}}$,yazalım,böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}$

Kutupsal koordinatlara dönüşümü ${\displaystyle a=r\cos \theta }$, ${\displaystyle b=r\sin \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

${\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$ and ${\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$, sonuç kolayca:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)}$.

Türevleri

türevleri sırasıyla:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

burada ${\displaystyle \ \psi (x)}$ digama fonksiyonu'dur.

Integralleri

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}$

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diger sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}$

Özellikler

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta dağılımı
• Binom dağılımı
• Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
• Negatif binom dağılımı
• Yule–Simon dağılımı
• Tekdüze dağılım (devamlılık)
• Gama fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Dlmf
• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• Beta fonksiyonu, PlanetMath.org.
• Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta

Dış bağlantılar

• Cephes - C and C++ language special functions math library
• Beta Function Calculator
• Incomplete Beta Function Calculator
• Regularized Incomplete Beta Function Calculator