Digama fonksiyonu
Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:
Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.
Harmonik sayılar ile ilişkisi
Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi
Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım
Integral Gösterimleri
integral gösterimi
- şeklindedir.
- reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz
harmonik sayılar için Euler integrali'dir .
Seri formülü
Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla
Taylor serisi
Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada
- ,
yakınsaklık için |z|<1. Burada, Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.
Newton serisi
Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :
Burada binom katsayısı'dır.
Refleksiyon formülü
Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar
Özyineleme formülü
tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu
Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle
Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,
burada Euler-Mascheroni sabiti'dir.
Daha genel bir ifade,
Gauss toplamı
Digama'nın Gaussian toplam formu
- şeklindedir.
Tamsayılar için . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;
ve genelleştirilmiş şekli
Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .
Gauss'un digama teoremi
Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi
Hesaplama & yaklaşıklık
J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,
veya
n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve Riemann zeta fonksiyonu'dur.
Özel değerler
Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4
- Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)
Dış bağlantılar
- Cephes - C and C++ language special functions math library
- - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1