Digama fonksiyonu

kompleks düzlem'de Digama fonksiyonu renkli bir noktasına karşı kodlanan değer . Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

şeklindedir.
reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

Burada binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

burada Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

şeklindedir.

Tamsayılar için . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

ve genelleştirilmiş şekli

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

veya

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar

This article is issued from Vikipedi - version of the 10/15/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.