Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1)'inci türevi olarak tanımlanır.

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi (z)=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z).}$

Burada

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

digama fonksiyonu'dur ve ${\displaystyle \Gamma (z)}$ gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$ bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi

${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}$

Integral gösterimleri

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{(m+1)}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}$

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki

tekrarlayan ilişki

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.}$ şeklindedir.

Çarpım teoremi

çarpım teoremi ${\displaystyle m>1}$ için

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$ olarak verilir.

ve ${\displaystyle m=0}$,için digama fonksiyonu adı verilir;

${\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Seri gösterimi

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

m > 0 ve z herhangi bir negatif tamsayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}$

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tamsayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

${\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}$. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}$

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)}$

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}}$ şeklinde verilebilir.

Burada ${\displaystyle \delta _{n0}}$ Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}$

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4