Bir Lie cebrinin ek temsili

Şablon:Lie groups

matematik'te, eslenik içbiçim veya eslenik hareket Lie cebiri'nin teorisinin geliştirilmesinde temel bir rol oynayan bu Lie cebiri'nin bir özbiçimidir.

Bir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lie cebirinin verilen bir ögesi x ve x'ın ek hareketi ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ haritası ile ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ile ek gösterim tanımlanır.

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ içindeki bütün y için.

${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ kavramı bir Lie grubunun ek gösterimi'yle yakından ilişkidir . Aslında,çıkan ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ tam diferansiyel olarak grubunun eş ögesidir .

Ek gösterim

Eğer bir Lie cebri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ üzerinde k bir alan ise doğrusal gönderim

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle x\mapsto \operatorname {ad} _{x}}$ ile verilen bir Lie grubunun ek gösterimi'dir ve cebrin ek gösterim'i olarak adlandırılır. ( gerçek görüntü ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ içinde yatıyor Aşağıya bakınız.)

${\displaystyle \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$,içinde Lie braketi'dir tanımı, iki operatörün değişmelisi tarafından verilir:

${\displaystyle [\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]=\operatorname {ad} _{x}\circ \operatorname {ad} _{y}-\operatorname {ad} _{y}\circ \operatorname {ad} _{x}}$

burada ${\displaystyle \circ }$ doğrusal haritaların düzenli ifadesidir. Eğer ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sonlu boyutlu, ise ${\displaystyle \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$ ile ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ 'ye izomorfiktir. genel doğrusal grup'un ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lie cebri üzerinde vektör uzayı ve eğer onun seçilen bir tabanı ,ise matris çarpımı'na karşılık düzendir.

Lie braket'inin yukardaki tanımı kullanılarak,Jacobi özdeşliği

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$ formunu alir.burada x, y, ve z ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nin keyfi ögeleridir .

Bu son özdeşlige ad gerçek bir Lie cebri eşbiçimidir denir; yani bir doğrusal gönderme alınan braketlere brakettir.

bu yapı modül-teorietik dilde, sade bir dille söylersek bu ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ kendi üzerinde bir modüldür.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ merkezinin tanımıyla ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ nin çekirdeğidir.Sonuç olarak, ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ görüntüsünü düşünelim. Hatırlayın bir Lie cebri olarak bir türevi bir doğrusal gönderim'dir ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ bu Leibniz' kuralına uyar yani, x' ların hepsi ve cebir içindeki y için .

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

Bu ad_x in bir türevidir,Jacobi özdeşliğinin bir kanıtıdır. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ifadesinin ad altındaki görüntüsü ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ nin bir alt cebiridir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.nin bütün türevlerinin uzayıdır

Yapı sabiti

Ek gösterimin kapalı matris ögesi cebrin yapı sabiti tarafından verilir. Bu, diyelimki {eⁱ} cebir için bir taban vektörler'in kümesi olsun,bununla

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

ise matris ögeleri için yapı sabiti ad_eⁱ tarafından verilir

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}.}$

Böylece örneğin su(2)'nun ek gösterimi so(3)'ün tanımını sağlar.

Ad'ye bağlantı

Ad ve ad üstel gönderim yoluyla bağlıdır; kabaca, Ad = exp ad, burada Ad bir Lie grubu için ek gösterim'dir .

Tam olarak, diyelimki G bir Lie grubu olsun, ve diyelimki ${\displaystyle \Psi :G\rightarrow \operatorname {Aut} (G)}$ gönderim olsun ${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$ ile ${\displaystyle \Psi _{g}:G\to G}$ iç özbiçim tarafından verilir

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}.}$

O bir Lie grup gönderimin bir örneğidir. ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ tanımı ${\displaystyle \Psi _{g}}$ olsun türevinin kökeni:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

burada d diferansiyeldir ve T_eG tanjant uzay orijini e (e ,Ggurubunun eş elementidir)dir.

G nin Lie cebri ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$dir.Dolayısıyla ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\in \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$, ${\displaystyle \operatorname {Ad} :g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$ bir harita G den Aut(T_eG)ye olacak bir türev T_eG den End(T_eG) ( Aut(V)'nin Lie cebri End(V))dir.

Böyleyse

${\displaystyle \operatorname {ad} =d(\operatorname {Ad} )_{e}:T_{e}G\rightarrow \operatorname {End} (T_{e}G).}$

üst-durum/alt-durum gösterim kullanımı da literatürde yaygın olarak kullanılır Böylece örneğin,cebrin içindeki bir vektör x , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ cebri G grubu içindeki bir vektör alanı X üretir . Benzer şekilde ek haritalama ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ içindeki vektörlerin ad_xy=[x,y] Lie türevi'ne homomorfiktir vektör alanı L_XY =[X,Y] 'nin G grubu bir manifold olarak düşünülür

Kaynakça

• Şablon:Fulton-Harris