Bra-ket gösterimi

Kuantum mekaniği'nde, kuantum durumları'nın tanımı için bir standard gösterim bra–ket gösterimidir ,braket açılar'dan ve dikey çubuk'lardan oluşur.O ayrıca matematik'teki soyut vektörler ve doğrusal fonksiyonel'leri ifade etmekte kullanılabilir.Çünkü o (veya bir karmaşık vektör uzayında nokta çarpım olarak) bir ⟨bra|ket⟩ tarafından ifade edilen iki durumun iç çarpım'ıdır,,

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ ,

bir sol parçanın içinde, ⟨φ| oluşumu, bra /brɑː/ olarak adlandırılır, ve bir sağ parça, |ψ⟩,ket /kɛt/ olarak adlandırılır. bu gösterim 1939 içinde Paul Dirac tarafından tanıtılmış idi^[1] ve ayrıca Dirac gösterimi olarak bilinir,100 yıla yakın önce iç çarpım için Grassmann öncülerinin kullandığı [φ|ψ] gösterimi vardı .^[2]

Bra–ket gösterimi Kuantum mekaniği içinde yaygındır:kuantum mekaniği kullanılarak hemen her fenomen -Modern fiziğin büyük bir bölümü dahil olmak üzere-genellikle bra-ket gösterimiyle açıklanabilir. gösterimin itiraz parçası soyut 'bağımsız gösterim' kodları olduğunu bununla birlikte çok uzatmadan bu özel bir gösteriminin üretiminde çok yönlülük veya ilgili uzayların doğrusal doğasına fazla bağımlılıktır(örneğin x, veya p, veya özfonksiyon tabanı).Örtüşme ifadesi ⟨φ|ψ⟩ tipik karşılaştırma olarak durum'ların ψ olasılık genliği için ϕ durumu içine çöküş'üdür.

Vektör uzayları

Altyapı: Vektör uzayları

Fizikte, taban vektör'ler herhangi Öklidyen vektör geometrik gösteriminde kullanılan açı'lar ve uzunluk'lar, farklı yönler içinde,yani uzaysal yönelimleri'nin terimleri içindedir. Bu sıradan gösterim ve bra-ket gösterim arasındaki gösterimsel eşdeğerliliği görmek kolaydır, Şimdilik bu kadar; Bir A vektörü düşünün 3-d Öklidyen uzayı'nın bir ögesi olarak gerçel sayılar'ın alanı'nı kullanıyor , sembolik durumlar olarak A ∈ ℝ³.

A vektörü taban vektör'lerinin kümesi kullanılarak yazılmış olabilir ve Koordinat sistemi'ni karşılar. Tabandışı vektörler "Bir vektör yapı taşları" gibidir,bir vektör için birbirine eklenir, ve koordinat'lar her yön içindeki taban vektörlerin sayılarıdır.Bir vektörün kullanışlı iki gösterimi taban vektörler'in yalın bir doğrusal kombinasyonu'dur ve sütün matris'lerdir.kartezyen taban ailesi kullanılıyor, bir A vektörü yazılırsa:

3d gerçel vektör bileşenler ve taban izdüşüm; benzerlikler arası vektör hesabı gösterimi veDirac gösterimi.İzdüşüm Dirac gösterimininde önemli bir özelliğidir.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}\\&=A_{x}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+A_{y}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+A_{z}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A_{x}\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\A_{y}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\A_{z}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

sırasıyla, burada e_x, e_y, e_z Kartezyen taban vektör'ler olarak adlandırılır(tüm birim vektör'ler ortogonaldir ) ve A_x, A_y, A_z 'ya karşılık gelen,içinde yönleri x, y, z olan koordinatlardır. Daha genel bir gösterimle,3-d uzayı içinde herhangi taban için biz şöyle yazarız;

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{1}\mathbf {e} _{1}+A_{2}\mathbf {e} _{2}+A_{3}\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\end{pmatrix}}}$

daha fazla yaygınlaştırılması Bir A vektörü düşünün bir N boyutlu vektör uzayı üzerinde ℂ karmaşık sayılar'ın alanı, sembolik olarak durumu A ∈ ℂ^N dır. A vektörü yine de, geleneksel olarak baz vektörleri ya da bir kolon matrisi lineer bir kombinasyonu ile temsil edilir:

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{n=1}^{N}A_{n}\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\\\end{pmatrix}}}$

koordinatlar şimdi tüm kompleks değerli olsa;

Daha da genel olarak, A bir vektör içinde bir karmaşık Hilbert uzayı içinde olabilir. Bazı Hilbert uzayları, gibi ℂ^N,sonlu boyutu vardır, eğer diğerlerinin sonlu boyut varsa.Bir sonlu-boyutlu uzay içinde, Anın sütun-vektör gösterimi birçok sonsuz karmaşık sayıların bir listesidir

Vektörler için Ket gösterimi

Bunun yerine daha boldtip,okların üzerinde, alt vb geleneksel yerlerde kullanılan; ${\displaystyle \mathbf {A} ,\,{\underline {A}},\,{\vec {A}}}$, Bir vektör için Dirac notasyonu dikey çubukları ve açısal parantez kullanır: |A⟩. Bu gösterim kullanıldığında, bu vektörler "ket"denir."ket-A" olarak okunur.^[3] Bu, tüm vektörler, elde edilen vektör ve esas için de geçerlidir.

Önceki vektörler artık yazılabilir;

${\displaystyle |A\rangle =A_{x}|e_{x}\rangle +A_{y}|e_{y}\rangle +A_{z}|e_{z}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}},}$

veya in daha kolay bir gösterim,

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|e_{1}\rangle +A_{2}|e_{2}\rangle +A_{3}|e_{3}\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}},}$

Son olarak kısa yazılmış şekli;

${\displaystyle |A\rangle =A_{1}|1\rangle +A_{2}|2\rangle +A_{3}|3\rangle }$

kullanılabilecek herhangi bir sembol, harfler, sayılar, hatta kelimelere nasıl dikkat edilir- Uygun bir etiket olarak görev ne olursa olsun -" Bir ket içinde etiket olarak kullanılabilir .Diğer bir değişle,sembol |A⟩ nın bir özel ve evrensel matematik anlamı vardır, ama sadece "A" nın kendisi tarafından değil . Bununla birlikte, kolaylık sağlamak için,Ket iç etiketleri arkasında bazı mantıksal düzeni oluşturmak genellikle yoktur, kuantum mekanik ile bir burada kuantum sayılarının listesi içinde bu tür etiketleme yaygın bir uygulama olarak enerji öz-ketleri'dir.

İç çarpımlar ve bras

Bir iç çarpım nokta çarpım'ın bir genelleştirilmesidir,iki vektörün iç çarpımı bir karmaşık sayıdır,iç çarpımlar için bir özel Bra–ket gösterimi  :

${\displaystyle \langle A|B\rangle ={\text{ iç-çarpım ket }}|A\rangle {\text{ile ket }}|B\rangle }$

örneğin,üç-boyutlu karmaşık Öklid uzayı,

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{x}^{*}B_{x}+A_{y}^{*}B_{y}+A_{z}^{*}B_{z}}$

burada ${\displaystyle A_{i}^{*}}$'e A_i'ın karmaşık eşleniği denir.Bir özel durum,bir vektör ile kendisinin iç çarpımı,o norm'un karesi(büyüklük) :

${\displaystyle \langle A|A\rangle =|A_{x}|^{2}+|A_{y}|^{2}+|A_{z}|^{2}}$

Bra–ket gösteriminin bölünmüş bu iç çarpımı (ayrıca bir "braket" te denir)iki parça içindedir,"bra" ve "ket":

${\displaystyle \langle A|B\rangle =\left(\,\langle A|\,\right)\,\,\left(\,|B\rangle \,\right)}$

burada ⟨A| bir bra'dır, okunuşu "bra-A",ve |B⟩ bir ket'tir yukarıdaki gibi.

Amaç iç çarpımın içinin bir bra ve bir ket "bölünme"sidir,bu iki bra ⟨A| ve ket |B⟩ kendi başlarına anlamlıdır,ve bir iççarpımın diğer konuları içinde kullanılabilir. Ayrı bras ve Kets anlamları hakkında düşünmek için iki ana yöntem vardır:

Bras ve kets satır ve sütun vektörler

Bir sonlu boyutlu vektör uzayı için, bir sabit ortonormal baz kullanılır,iç çarpım bir satır vektör ile bir sütun vektörün bir matris çarpımı olarak yazılabilir:

${\displaystyle \langle A|B\rangle =A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$

Taban olarak,bras ve kets olarak tanımlanabilir:

${\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle |B\rangle ={\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$

ve bu anlaşıldı ise bu bir bra sonrası bir ket'le matris çarpımı anlamına gelir.

Eşlenik devriği (ayrıca Hermisyen eşlenik te denir) bir bra karşılığında ket ve tersi:

${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$

çünkü eğer bir bra ile başlatılır

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}},}$

bir karmaşık eşleniği gerçekleştirdiğinde ve bir ket ile sonlanma varsa matris devriği şu olur

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$

Ket ile ilgili bra gibi doğrusal operatörler

Daha bir soyut tanım, bunun eşdeğeri ama daha kolay sonlu-boyutlu uzaya genelleştirilebilir, bu bras doğrusal fonksiyonel'ler olarak kets denir, yani operatörler bu giriş bir ket ve çıkış bir karmaşık sayıdır. bra operatörleri iççarpım ile tutarlı olarak tanımlanabilir matematik terminolojide,bras'ın vektör uzayı kets'lerin vektör uzayı ile dual uzay'dır ,

Kuantum mekanikte uygulamaları

matematiksel yapısı kuantum mekaniğinin doğrusal cebir üzerinde büyük kısım içinde yer alır :

• Dalga fonksiyonu ve diğer kuantum durumlar bir karmaşık Hilbert uzayı içinde vektörler olarak gösterilebilir. (Bu Hilbert uzayının tam yapısı durumuna bağlıdır.) bra–ket gösterimi içinde, örneğin, bir electron "durum" |ψ⟩ içinde gereklidir. (Teknik açıdan, kuantum durumları Hilbert uzayı içinde vektörlerin yollarıdır , herhangi sıfırdışı karmaşık sayılar c için aynı duruma karşılık c|ψ⟩ olarak.)
• Kuantum çakışması kurucu durumların vektör toplamları tanımlanabilir. Örneğin, |1⟩+i |2⟩ durumu içinde bir elektron bir kuantum |1⟩ ve |2⟩ durumlarının çakışmasıdır.
• ölçüm ile ilişkili(gözlenebilirler denir) kuantum durumlarının Hilbert uzayı üzerindeki doğrusal işlemcilerdir .
• Dinamikler ayrıca Hilbert uzayı üzerinde doğrusal işlemciler ile tanıtılabilir. Örneğin, Schrödinger resmi içinde, burada bir doğrusal zaman evrimi işlemcisi U ile bir elektronun özelliği eğer şimdi sağdaki |ψ⟩ durumu içinde ise,ikinci tek bu aynı U her olasılık |ψ⟩ için U|ψ⟩ durumu içinde olacaktır, .
• Dalga fonksiyonunun normalleşmesi bir dalga fonsiyonu ölçeği böylece bunun normu 1'dir.

Since in kuantum mekanik içinde sanal her hesaplama vektörler ve doğrusal işlemciler içerir, bu içerebilir, ve sıklıkla bra–ket gösterimi yapar içerir. Birkaç örnek aşağıdadır:

Özellikler

Bra-ket notasyonu lineer cebirsel ifadelerin resmi manipülasyonu kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Bu manipülasyonu sağlar özelliklerin bazıları, burada listelenmiştir. In what follows, c₁ vec₂ denote arbitrary karmaşık sayılars, c* c'nin karmaşık eşlenik ifadesi, A ve B keyfi doğrusal işlemciler ifadesidir, ve bu özellikler herhangi bras ve kets seçimi için tutulur.

Doğrusallık

• Böylece bras doğrusal fonksiyondur,

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .}$

• ikili uzay içinde doğrusal fonksiyonun toplamının ve skaler çarpımının tanımı ile ,^[4]

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle .}$

Hermityen eşlenik

• Bir bra Hermityen konjugeye karşılık gelen ket, ve tersi.
• Karmaşık bir sayının Hermityen eşleniği kompleks eşleniğidir.
• Herhangi bir şeyin (lineer operatörler, bra kets, sayılar) Hermityen eşleniğinin Hermitsel eşleniği, kendisi-olur

(x^†)^† = x.verilen kompleks sayıların, bras, Ket, iç çarpımları dış çarpımları ve / veya bra-ket notasyonda yazılmış olanlar doğrusal operatörlerin, herhangi bir kombinasyonu, onun Hermityen konjuge sırasının tersine hesaplanabilir bileşenlerini ve her birinin Hermityen eşleniğini alıyor.

Bu kurallar resmi olarak bu tür bir ifadenin Hermitsel konjügatını yazmak için yeterlidir; aşağıda bazı örnekler:

• Ketler:

${\displaystyle \left(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \right)^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|~.}$

• İççarpım:

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle ~.}$

• Matris ögeleri:

${\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }$

${\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle ~.}$

• Dış çarpımlar:

${\displaystyle \left((c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|)+(c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|)\right)^{\dagger }=(c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|)+(c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|)~.}$

Ayrıca bakınız

• Açısal momentum diyagramları (Kuantum mekaniği)

Kaynakça ve notlar

1. PAM Dirac (1939). "A new notation for quantum mechanics". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): s. 416–418. DOI:10.1017/S0305004100021162. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476. 
2. H. Grassmann (1862). Extension Theory. History of Mathematics Sources. American Mathematical Society, London Mathematical Society, 2000 translation by Lloyd C. Kannenberg. 
3. Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN(10-) 0-07-145546 9
4. Lecture notes by Robert Littlejohn, eqns 12 and 13

Daha ileri okuma

• Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3. 

Dış bağlantılar

• Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
  • 1. Ket space
  • 2. Bra space
  • 3. Operators
  • 4. The outer product
  • 5. Eigenvalues and eigenvectors
• Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra–ket notation.