Burulma tensörü

Bir jeodezik boyunca burulma.

Diferansiyel geometride, torsiyon kavramı bir eğri etrafındaki bir hareketli çerçevenin bir burulmasını veya vidayı karakterize eder bir şekildedir. Bu Frenet-Serret formüllerinde görüldüğü gibi bir eğrinin burulması, mesela, bu eğri ilerledikçe (ya da daha çok vektör ile ilgili tanjant Frenet-Serret çerçevesinin dönmesi olarak) tanjant bir vektör ile ilgili bir eğrinin burulma miktarını belirler. Yüzeylerin geometrisi olarak, jeodezik burulma yüzeyi üzerinde bir eğri ile ilgili ne kadar katlanmış yüzey olduğunu tarif etmektedir. Eğrilik ölçümlerinin refakatçi kavramı nasıl "bükmeden" bir eğri boyunca "rulo" çerçeveler hareketlidir.

Daha genel olarak, bir afin bağlantı (ki, tanjant demeti içinde bir bağlantıdır) ile donatılmış bir diferensiyellenebilir manifold üzerinde, burulma ve eğrilik bağlantının iki temel değişmezlerini oluştururlar. Bu bağlamda, burulma, paralel taşınımdır zaman,eğrilik tanjant uzaylar eğrisi boyunca rulo anlatıyor ise tanjant uzayları ile ilgili bir eğrinin burulma kadar içsel bir karakterizasyonunu verir; Burulma bir tensörün veya manifoldun üzerinde bir vektör-değerli-iki-formu olarak somut bir şekilde tarif edilebilir. ∇ bir diferansiyel manifold üzerinde bir afin bir bağlantı ise, ardından burulma tensörü ile, vektör alanlarının X ve Y terimleri ile tanımlanmaktadır

${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

Burada [X,Y] vektör alanlarının Lie braketidir.

Burulma geodeziklerin geometrisinin çalışmasında özellikle yararlıdır.

Ölçeklendirilmiş geodeziklerin bir sistemi göz önüne alındığında, o bir jeodeziklere olan afin bağlantıların bir sınıfını belirtmektedir, ancak onlar burulmaları ile farklıdır.

(Örneğin Finsler geometri gibi) diğer, muhtemelen metrik olmayan durumlara Levi-Civita bağlantısını genelleştirecek, burulmayı emen eşsiz bir bağlantı vardır.

Torsiyon emme aynı zamanda G-yapıları ve Cartan denklik yöntemi çalışmasında temel bir rol oynar.

Burulma ilişkili izdüşümsel bağlantı üzerinden, aynı zamanda geodeziklerin ölçeklendirilmemiş ailelerinin çalışmasında da yararlıdır.

Görelilik teorisinde, bu tür fikirler Einstein-Cartan teorisi şeklinde uygulanmıştır.

Torsiyon tensör

Diyelimki M tanjant demet üzerinde ∇ bir bağlantısı ile bir manifold olsun. Torsiyon tensör (bazen Cartan (torsiyon) tensör) bir vektör-değerli 2-form vektör alanının üzerinde X ve Y ile tanımlanıyor

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

burada [X,Y] iki vektör alanının Lie braketidir.Leibniz kuralı ile herhangi bir düzgün fonksiyon f için T(fX,Y) = T(X,fY) = fT(X,Y). Böylece T tensöreldir,tensöryel-olmayan eşdeğişken türevin terimleri içinde tanımlı olmasına rağmen : bu tanjant vektörler üzerinde bir 2-form ile veriliyorken, eşdeğişken türev yalnızca vektör alanları için tanımlıdır.

Eğrilik ve Bianchi denkliği

∇ nın eğrilik tensörü X, Y, ve Z vektör alanları ile üzerinde tanımlanan bir

TM × TM → End(TM) göndermesidir

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Unutmadan, bir noktada vektörler için, bu tanım böyle vektörler için bağımsızdır ve noktadan uzağa vektör alanlarına genişletilir(böylecebir tensör tanımlanır, daha çok torsiyon gibi).

Bianchi denklikleri eğriyle ilişkili ve torsiyon olarak aşağıdadır .^[1] Diyelimki ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ X, Y, ve Z üzerindedöngüsel toplam ifadesidir.Örneğin,

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

O zaman aşağıdaki denklikler tutar

1. Bianchi'nin ilk denkliği:

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)}$

2. Bianchi'nin ikinci denkliği:

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0}$

Torsiyon tensörün bileşenleri

Tanjant demetin (e₁, ..., e_n) bölümlerinin yerel tabanının terimleri içinde ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$ torsiyon tensörünün bileşenleriX=e_i, Y=e_j çerçevesi ve γ^k_ije_k := [e_i,e_j] değişmeli katsayıları tanıtımı ile elde edilebilir.Torsiyonun bileşenleri ise

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Eğer taban Lie braketleri kaybolur ise holonomiktir ${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$

Böylece ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$ iken Özel olarak (aşağıya bakınız ) jeodezik denklemler bağlantının simetrik parçasını belirler,torsiyon tensör antisimetrik parçayı belirler

Torsiyon formu

Torsiyon formu,torsiyonun karakterizasyon bir alternatifi M monifoldunun FM çerçeve demetine uygulanır Bu ana demet bir bağlantı formu ω ile donanır, bir gl(n)-değerli tek-formu için gl(n) içinde doğru hareketin üreteçlerine dik vektör göndermeleri ve gl(n) üzerinde ek gösterim ile FM nin tanjant demeti üzerinde GL(n) nin doğru hareketi içiçe eşdeğişkendir.çerçeve demet ayrıca bir θ kurallı tek-form taşır Rⁿ içinde değerleri ile u ∈ F_xM bir çerçevesinde tanımlanır(bir doğrusal fonksiyon u : Rⁿ → T_xM olarak kabul edilir) ile olarak

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}$

burada π  : FM → M ana demet için izdüşüm göndermesidir. Torsiyon formu o zaman

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

Eşdeğerlik Θ = Dθ, burada D dış eşdeğişken türev bağlantısı ile belirlenir.

Torsiyon formu Rⁿ,içinde değerleri ile bir tensörel form(yatay)dır g ∈ Gl(n) nin doğru hareketinin altındaki anlamı bu eşdeğerliğin dönüşümdür:

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

buradaki sağ-el tarafı üzerinde g hareketi yoluyla Rⁿ üzerinde temel gösterimidir

Eğrilik formu ve Bianchi denkliği

Eğri formu gl(n)-değerli 2-formdur

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

burada, D yine dış eşdeğişken türevi ifadesidir.Eğrilik formunun terimleri içinde ve torsiyon formu, Bianchi denkliğini karşılar^[2]

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

1. ${\displaystyle D\Omega =0.\,}$

dir.Dahası eğriliğin kaldırılabilir ve eğriliklerden torsiyon tensorleri ve torsiyon formları olarak aşağıdadır.F_xM nun

bir u noktasında ^[3]

${\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}$

${\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}$

burada yine u : Rⁿ → T_xM lif içinde çerçeve belirten fonksiyondur,ve π⁻¹ yoluyla vektörlerin kaymasının seçimi is irrelevant since the eğrilik ve torsiyon formları are yataydır (bu dik vektörler ortamı üzerinde kaybolur).

Bir çerçeve içinde Torsiyon formu

Torsiyon formu M taban manifoldu üzerinde bir bağlantı formu nun terimleri içinde ifade edilebilir (e₁,...,e_n).Tanjant demetinin özel çerçevesi içinde yazılabilir.Bağlantı formu anlatılırken burada temel bölümün dış eşdeğişken türevleri:

${\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\mathbf {e} }_{j}\omega _{i}^{j}.}$

(çerçeveyle ilişkili) tanjant demet için lehim formu e_i nin ikili taban θⁱ ∈ T^*M dir böylece θⁱ(e_j) = δⁱ_j ( Kronecker delta.) O zaman torsiyon 2-form bileşenleri var

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\sum _{j=1}^{n}\omega _{j}^{k}\wedge \theta ^{j}=\sum _{i,j}T_{ij}^{k}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

En sağdaki ifadede,

${\displaystyle T_{ij}^{k}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}$

ön tanım içinde verilmiş olan torsiyon tensörün çerçeve bileşenleridir.

Bu Θ tensörel dönüşüm Θ kolayca gösterilebilir eğer bir farklı çerçeve içinde anlamında ise

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{j}\mathbf {e} _{j}g_{i}^{j}}$

bazı tersinebilir matris-değerli fonksiyon (g_i^j) için, o zaman

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})_{j}^{i}\Theta ^{j}.}$

Diğer bir değişle, Θ (1,2) tipinin bir tensörüdür.(bir karşıtdeğişken ve iki eşdeğişken indisleri taşıma).

Karşıt olarak, lehim formu End(TM) ≈ TM ⊗ T^*M ikili izomorfizmi altında tanjant demetin özdeş endomorfizmine karşılık M üzerinde θ ,TM-tek değerli formu olarak bir çerçeve-bağımsız biçimi içinde karakterize edilebilir. O zaman torsiyon iki-form

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}$

nın bir bölümüdür.

${\displaystyle \Theta =D\theta ,\,}$

ile veriliyor,burada D dış eşdeğişken türevdir (bkz bağlantı formu için daha ileri ayrıntı.)

İndirgenemeyen çözünme

Torsiyon tensör iki indirgenebilir parçaları içine çözülebilir: bir iz-siz parça ve diğer parça için iz terimleri içerir.İndis gösterimi kullanılarak T nin izi

${\displaystyle a_{i}=T_{ik}^{k},}$

ile veriliyor ve izsiz kısmı

${\displaystyle B_{jk}^{i}=T_{jk}^{i}+{\frac {1}{n-1}}\delta _{j}^{i}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta _{k}^{i}a_{j}}$

dır.burada δⁱ_j Kronecker delta dır

içsel olarak, bir

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right).}$

T nin izi tr T ve T^*M nin bir ögesi olarak tanımı aşağıdadır. X ∈ TM sabitlenen vektör için Hom(TM, TM) un yoluyla T nin bir T(X) ögesinin tanımı

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

O zaman (tr T)(X) bu endomorfizmin izi olarak tanımlanır.İşte bu,

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}$

nin izsiz parçası ise

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T)}$

burada ι iç çarpım ifadesidir

Ayrıca bakınız

• Eğrilik tensörü
• Kontorsiyon tensör
• Levi-Civita bağlantısı
• Eğrilerin burulması
• Curtright alanı

Notlar

1. See Kobayashi–Nomizu (1996) Volume 1, Proposition III.5.2.
2. Kobayashi–Nomizu (1996) Volume 1, III.2.
3. Kobayashi–Nomizu (1996) Volume 1, III.5.

Kaynakça

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover 
• Cartan, É. (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 40: 325–412, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 
• Cartan, É. (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 41: 1–25, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 
• Elzanowski, M.; Epstein, M. (1985), "Geometric characterization of hyperelastic uniformity", Archive for Rational Mechanics and Analysis 88 (4): 347–357, DOI:10.1007/BF00250871 
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models", BIOMAT-2006 (Springer-Verlag), http://math.arizona.edu/~goriely/Papers/2006-biomat.pdf 
• Hehl, F.W.; von der Heyde, P.; Kerlick, G.D.; Nester, J.M. (1976), "General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects", Rev. Mod. Phys. 48, 393.
• Kibble, T.W.B. (1961), "Lorentz invariance and the gravitational field", J. Math. Phys. 2, 212.
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, 1 & 2 (New bas.), Wiley-Interscience (yayın: 1996), ISBN 0-471-15733-3 
• Poplawski, N.J. (2009), "Spacetime and fields", arXiv:0911.0334
• Schouten, J.A. (1954), Ricci Calculus, Springer-Verlag 
• Schrödinger, E. (1950), Space-Time Structure, Cambridge University Press 
• Sciama, D.W. (1964), "The physical structure of general relativity", Rev. Mod. Phys. 36, 463.
• Spivak, M. (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3