Dirichlet serisi
Matematikte Dirichlet serisi
biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir.
Burada s ve an (n = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade genel Dirichlet serisinin özel bir durumudur.
Dirichlet serileri çözümlemeli sayı kuramında önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı Dirichlet L-işlevlerinde olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır.
Örnekler
En ünlü Dirichlet serisi
Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri
biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(n) Möbius işlevini belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere Möbius evirtimi ve Dirichlet katlaması uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, bir Dirichlet karakteri olmak koşuluyla
ifadesine ulaşılır. Burada bir Dirichlet L-işlevini göstermektedir.
Diğer özdeşlikler ise şunlardır:
φ(n) totient olmak koşuluyla
ve
Burada σa(n) bölen işlevi göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler
olarak yazılabilir.
Zeta işlevinin logaritması
biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(s) > 1 için geçerlidir. von Mangoldt işlevini göstermektedir. Buradan logaritmik türev
olarak hesaplanır.
Liouville işlevi () kullanılarak
ifadesine ulaşılır.
Ramanujan toplamı da benzer bir örnek sunmaktadır.
Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni
Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı {an}n ∈ N işlevi için
ifadesi karmaşık değişken s'nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.
{an}n ∈ N bir sınırlı seriyse buna karşılık gelen f Dirichlet serisi s'nin yarı açık düzleminde mutlak yakınsar (Re(s) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, an = O(nk) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(s) > k + 1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.
an + an + 1 + ... + an + k toplamlar kümesi n'de sınırlı ve k ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(s) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.
Her iki durumda da f, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir.
Bir Dirichlet serisinin yakınsaklık yatay ekseni karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, üs serisindeki yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır.
Türevleri
eşitliği sağlanıyorsa
ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(n) tümüyle çarpımsal işlevi tanımlanabiliyor ve seri Re(s) > σ0 için yakınsıyorsa
ifadesi Re(s) > σ0 için yakınsar. Burada von Mangoldt işlevini göstermektedir.
Çarpımları
ve
olduğu varsayılsın.
F(s) ve G(s), s > a ve s > b için mutlak yakınsak ise
ifadesine ulaşılır.
a = b ve ƒ(n) = g(n) eşitlikleri sağlanıyorsa
sonucu elde edilir.
İntegral dönüşümleri
Dirichlet serisinin Mellin dönüşümü Perron formülüyle hesaplanabilmektedir.
Ayrıca bakınız
- Genel Dirichlet serisi
- Euler çarpımı
Kaynakça
- G. H. Hardy & Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915)
- The general theory of Dirichlet's series, G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. Cornell University Library Digital Collections