Yakınsaklık yarıçapı

Matematikte, bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı negatif olmayan bir gerçel sayı veya ∞ olan bir niceliktir. Verilen bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı serinin yakınsak olduğu bölgeyi gösterir. Bu yakınsaklık yarıçapının içinde kalan bölgede, kuvvet serisi mutlak yakınsak ve aynı zamanda tıkız yakınsaktır. Seri yakınsak ise, o zaman bu seri bir analitik fonksiyonun bu yakınsaklık yarıçapının belirlediği bölgenin içinde kalan bölgede yakınsayan bir Taylor serisidir.

Tanım

Bir kuvvet serisi f şu şekilde taımlanır:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}$

Burada,

a karmaşık bir sabittir ve yakınsaklık dairesinin merkezidir,

c_n, n 'inci karmaşık katsayıdır.

z ise karmaşık bir değişkendir.

Yakınsaklık yarıçapı olan r ise ya negatif olmayan bir gerçel sayıdır ya da ∞ 'dur öyle ki verilen seri

${\displaystyle |z-a|<r\,}$

durumunda yakınsar,

${\displaystyle |z-a|>r\,}$

durumunda ise ıraksar.

Başka bir deyişle, seri, z merkeze yeteri kadar yakınken yakınsar ve oldukça uzak iken de ıraksar. Yakınsaklık yarıçapının belirlediği ise bu yakınlık ve uzaklığın ne olduğudur. Sınır üzerinde, yani |z − a| = r iken, kuvvet serisinin yakınsayıp yakınsamadığını belirten özel bir ifade veya tanım yoktur. Çünkü bazı seriler sınırın üzerindeki her noktada yakınsak iken, bazıları her noktada ıraksak ve bazıları ise belli noktalarda yakınsak ve ıraksak olabilir. Seri tüm z değerleri için yakınsak ise o zaman yakınsaklık yarıçapı sonsuz olur.

Seriyi yakınsak yapan z leri içeren kümenin öziçine yakınsaklık bölgesi adı verilir ve bu bölgelere z lerin hangi uzaydan değer aldığına bağlı olarak yakınsaklık aralığı, yakınsaklık dairesi, yakınsaklık yuvarı gibi değişik adlar da verilmektedir.

Yakınsaklık yarıçapının bulunması

Kuvvet serinin terimlerine kök testi uygulanarak yakınsaklık yarıçapı bulunabilir. İlk önce

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}|z-a|}$

sayısına bakalım. Eğer C < 1 ise kök testi serinin yakınsadığını,  C > 1 ise ıraksadığını ifade eder. O zaman, kuvvet serisi z 'nin a 'ya olan uzaklığının

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

değerinden küçük olduğu durumlarda yakınsar. Benzer bir şekilde, bu değerden büyük olduğu durumlarda ise ıraksar. Bunun tam ifadesi Cauchy-Hadamard teoremi tarafından verilmektedir. r = 1/0 durumu sonsuz yarıçap olarak yorumlanır ve f 'nin bir tam fonksiyon olduğu anlamına gelir.

Oran testi ise aynı yakınsaklık yarıçapını sadece limit kullanarak yapmaktadır ve bu yüzden yarıçap hesabını daha kolaylaştırıcıdır. Ancak, daha önce verilen kök yöntemine göre daha sınırlı bir uygulama sözkonusudur çünkü verilen limitin var olup olmadığı daha önceden bilinmemektedir. Eğer limit varsa

${\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|}$

sayısı yakınsaklık yarıçapını verir. Bu ifadenin gerçekten yakınsaklık yarıçapını verdiğini şu şekilde gösterebiliriz: Oran testi serinin aşağıdaki koşul sağlandığında yakınsadığını gösterir:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

Ancak bu koşul ise şu koşula denk bir koşuldur:

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Karmaşık analizde yakınsaklık yarıçapı

Pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip olan bir kuvvet serinin değişkenini karmaşık değişken alarak bu seriyi bir holomorf fonksiyon haline getirebiliriz. Yakınsaklık yarıçapı bu durumda şu teorem tarafından belirlenir:

a merkezli bir f kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı f 'nin holomorf olarak tanımlamadığı noktaların a noktasına olan uzaklıklarının en küçüğüdür.

a noktasında uzaklıkları yakınsaklık yarıçapından kesin küçük olan noktaların kümesine yakınsaklık dairesi adı verilmektedir.

Merkez ve katsayılar gerçel olsa bile burada uzaklıktan kastedilen karmaşık düzlemdeki uzaklıktır. Örneğin,

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

fonksiyonunun gerçel hiçbir kökü yoktur. 0 merkezindeki Taylor serisi şu şekilde verilmektedir:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

Kök testi uygulanırsa, yakınsaklık yarıçapının 1 olduğu bulunur. Bu bağlamda, ƒ(z) fonksiyonunun 0'a uzaklıkları 1 olan  ±i noktalarında tekillikleri vardır.

Bu teoremin kanıtı için holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız.

Basit bir örnek vermek gerekirse, trigonometrideki ters tanjant fonksiyonunu kuvvet serisinde şu şekilde açabiliriz:

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

Bu durumda kök testi uygulayarak yakınsaklık yarıçapı 1 olarak hesaplanabilir.

Daha karışık bir örnek ise şu olabilir:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

Burada B_n sayıları Bernoulli sayısıdır. Bu durumda oran testini uygulamak oldukça zahmetli olacaktır. Ancak, karmaşık analiz için yukarıda verilen teorem problemi çok kolay bir şekilde halledecektir. z = 0 olduğunda, aslında tekillik yoktur çünkü bu tekillik kaldırılabilir tekilliktir. Kaldırılabilir olamyan diğer tekillikler paydanın 0 olduğu diğer noktalarda olmaktadır.

${\displaystyle e^{z}-1=0\,}$

denklemini çözmemiz gerekiyor. z = x + iy ve e ^iy = cos(y) + i sin(y) olduğunu hatırlarsak,

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,}$

elde ederiz. Şimdi, x ve y 'yi gerçel alalım. y gerçel olduğu için, cos(y) + i sin(y) ifadesinin mutlak değeri 1 olacaktır. Bu yüzden, e ^z ifadesinin mutlak değeri x değeri gerçel olduğu için ancak e ^x=1 ise 1'e eşit olacaktır. y gerçel olduğu için, bu da ancak cos(y) = 1 ve sin(y) = 0 olduğunda gerçekleşecektir. Böylece, y  2π 'nin bir tamsayı katı olur. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tekil noktaları z 'nin  2πi 'nin 0 haricindeki tamsayı katlarında olur.

Kuvvet serisi açılımının merkezi olan 0 'a en yakın tekillikler ±2πi 'dedir. Her iki noktaya da 0 noktasından uzaklık 2π olduğu için yakınsaklık yarıçapı da 2π olur.

Sınırdaki yakınsaklık

Bir kuvvet serisi a noktası etrafında açılırsa ve yakınsaklık yarıçapı r ise, o zaman z such that |z − a| = r koşulunu sağlayan tüm z sayılarının kümesine yakınsaklık dairesinin sınırı adı verilen bir çemberdir. Bir kuvvet serisi sınırdaki noktaların tümünde ıraksayabilir, belli noktalarında ıraksak olup geri kalan noktalarında yakınsayabilir. Hatta, seri sınırın tümünde yakınsak olup mutlak yakınsak olmayabilir.

Örnek 1: ƒ(z) = (1 − z)⁻¹ fonksiyonunun z = 0 merkezindeki kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1'dir ve sınırdaki tüm noktalarda bu seri ıraksaktır.

Örnek 2: g(z) = ln(1 − z) fonksiyonun yine 0 merkezli kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı r = 1 'dir. z = 1 iken seri ıraksaktır ve ama sınırın üzerindeki diğer tüm noktalarda seri yakınsakır. Örnek 1'deki ƒ(z) fonksiyonu, g(z) 'nin negatifinin türevidir.

Yazıda açıklanan fonksiyonların grafiği: Yaklaşımlar kırmızı ve mavi, yakınsaklık çemberi ise beyazla gösterilmiştir.

Örnek 3:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1'dir ve sınır üzerindeki her yerde yakınsaktır. eğer h(z) bu seri tarafından temsil edilen fonksiyon ise, o zaman h(z) 'nin türevi Örnek 2'deki g(z) 'nin z 'ye bölümüdür.

Örnek 4:

${\displaystyle P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+z^{2^{n-1}+1}+\cdots +z^{2^{n}-1})}$

kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı 1 'dir ve sınır üzerinde düzgün yakınsaktır. Ancak; bu seri, sınır üzerinde mutlak yakınsak değildir.^[1]

Notlar

1. Sierpiński, Wacław (1918), "O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie", Prace matematyka-fizyka 29: 263–266 

Kaynakça

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6 
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8 

Dış bağlantı

• What is radius of convergence? (İngilizce dilinde)