Kuvvet serisi

Matematikte (tek değişkenli) kuvvet serisi

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

şeklinde olan bir sonsuz seridir. Bu gösterimde a_n, n 'inci terimin katsayısı, c bir sabit ve x de c etrafında değerler alan değişkendir. Bu sebeple, yukarıdaki gösterimdeki gibi bir kuvvet serisine bazen c merkezli seri de denmektedir.

Kuvvet serileri genelde bir fonksiyonun Taylor serisi olarak karşımıza çıkmaktadır. c 'nin 0 olduğu da oldukça fazladır ki bu durumların en yaygın örneği ise Maclaurin serisidir. O zaman yukarıdaki seri açılımını daha basit bir halde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .}$

Bu tür kuvvet serileri karşımıza analizde, kombinatorikte (üreteç fonksiyon adı altında) ve elektrik mühendisliğinde (Z-dönüşümü adı altında) çıkmaktadır. Gerçel sayıların ondalık gösterimi de aslında bir kuvvet serisinin bir noktadaki değeri olarak görülebilir. Bu gösterimde, ondalık gösterimdeki virgülden sonraki her rakam yukarıda bahsedilen katsayılar olmaktadır. Kuvvet serisinin merkezi 0 ve x 'in değeri de 1/10 alınır. Sayılar teorisinde, p-sel sayılar kavramı da aynı zamanda kuvvet serileriyle yakından alakalıdır.

Üstel fonksiyon (mavi renkli) ve bu fonksiyonun Maclaurin serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızı renkli)

Örnekler

Her polinom belli bir terimden sonraki bütün katsayıları 0 olmak üzeri bir kuvvet serisi şeklinde yazılabilir. Örneğin, ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ polinomu ${\displaystyle c=0}$ merkezi etrafında

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$

şeklinde yazılabilir veya ${\displaystyle c=1}$ merkezi etrafında

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }$

şeklinde yazılabilir. Aslında, her c merkezi etrafında yazılabilir. Kuvvet serileri her ne kadar polinom olmasalar da bir diğer bakış açısıyla aslında "sonsuz dereceli polinomlar" gibi görülebilir.

${\displaystyle |x|<1}$ için geçerli olan aşağıdaki geometrik seri formülü önemli kuvvet seri örneklerinden biridir.

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$

Bir diğer önemli örnek ise tüm gerçel xler için geçerli olan üstel fonksiyon ve sinüs fonksiyonudur. Sırasıyla bu fonksiyonların kuvvet serisi açılımları ise şöyledir:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

Bu kuvvet serileri aynı zamanda birer Taylor serisi örneğidir.

Kuvvet serilerinde, ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ örneğinde olduğu gibi negatif kuvvetlere izin verilmez. Bu tür negatif kuvvete sahip seriler Laurent serisi örneğidir ve kuvvet serisi sayılmazlar. Benzer bir şekilde, ${\displaystyle x^{1/2}}$ örneğindeki gibi, kuvvetin kesirli sayı olmasına da izin verilmez (Puiseux serisine bakınız).

${\displaystyle a_{n}}$ katsayıları x 'e bağımlı olmamalıdır. Mesela,

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$

bir kuvvet serisi değildir.

Birden çok değişkenli kuvvet serileri

Bir değişkenli kuvvet serilerinin daha fazla değişkeni içeren kuvvet serilerine genelleştirilmeleri çok değişkenli hesap için gereklidir. Çok değişkenli bir kuvvet serisi aşağıdaki şekilde olan bir seridir.

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}}.}$

Burada, j = (j₁, ..., j_n) bir doğal sayılar vektörüdür, a_(j1,...,jn) katsayıları ise genellikle gerçel veya karmaşık sayıdır. Yine, c = (c₁, ..., c_n) merkezi ve x = (x₁, ..., x_n) değişkeni ise gerçel ve karmaşık vektör olarak alınırlar.

Çoklu indeks gösterimi kullanıldığında ise aynı seriyi

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }}$

şeklinde yazabiliriz.

Yakınsaklık yarıçapı

Bir kuvvet serisi belli x değerleri için yakınsak ve yine belli x değerleri için ıraksak olabilir. Bütün kuvvet serileri x = c noktasında yakınsaktır ve serinin değeri bu noktada ilk katsayısına eşittir. Bütün kuvvet serileri için yakınsaklık yarıçapı adı verilen bir r sayısı vardır ve bu sayı 0 ≤ r ≤ ∞ koşulunu sağlamaktadır. Yakınsaklık yarıçapının tanımı ise şu şekilde yapılmaktadır: Tanımdaki gibi bir kuvvet serisini alalım. Eğer bu seri bir r sayısı için |x − c| < r koşuluna uyan tüm x değerleri için yakınsaksa ve |x − c| > r koşuluna uyan tüm x değerleri için ıraksaksa, o zaman r 'ye bu serinin yakınsaklık yarıçapı adı verilir. Burada dikkat edilmesi gereken, yakınsaklık yarıçapının tanımında verilen her iki koşulun, yani yakınsaklık ve ıraksaklık koşullarının, eşitlik durumunu içermemesidir. Kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olan r sayısı şu şekillerde de bulunabilir:

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

veya, dengi bir şekilde,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}$

Son verilen formül, Cauchy–Hadamard teoremi olarak da anılmaktadır. (Gösterimin daha ayrıntılı bir açıklaması için limsup ve liminf maddelerine bakınız). yakınsaklık yarıçapını hesaplamanın hızlı bir yolu, eğer limit varsa

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$

formülünü uygulamaktır. Seriyi yakınsak yapan x leri içeren kümenin öziçine yakınsaklık bölgesi adı verilir ve bu bölgelere x lerin hangi uzaydan değer aldığına bağlı olarak yakınsaklık aralığı, yakınsaklık dairesi, yakınsaklık yuvarı gibi değişik adlar da verilmektedir.

Kuvvet serisi |x - c| < r değerlerini sağlayan x ler için mutlak yakınsaktır. {x : |x − c| < r} kümesinin her tıkız altkümesi içinse düzgün yakınsaktır. Başka bir deyişle, seri yakınsaklık dairesinin öziçinde mutlak ve tıkız bir şekilde yakınsaktır.

|x - c| = r eşitliğini sağlayan x değerleri için serinin yakınsak veya ıraksak olup olmadığını belirten genel bir ifade sözkonusu değildir. Ancak; x değişkeninin gerçel olduğu durumlarda Abel teoremi işe yarayabilmektedir. Abel teoremi ise şu şekilde ifade edilebilir: Eğer seri x noktasında yakınsak ise, o zaman seri x noktasında sürekli olmalıdır. Değişken karmaşık değişken ise, sürekliliğin c 'den başlayan ve x te biten doğru boyunca olduğunu iddia edebiliriz.

Çok değişkenli kuvvet serilerinin kuramı ve geliştirilmesi elde edilen yakısanlık bölgelerinin bir değişkenli kuvvet serilerininkine kıyasla çok farklı olmasından dolayı daha zordur. Örneğin, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ serisi ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ kümesi içinde, yani iki hiperbolün arasında mutlak yakınsaktır.

Kuvvet serileriyle işlemler

Toplama ve Çıkarma

f ve g fonksiyonları aynı bir c merkezi etrafında kuvvet serisi iseler, o zaman bu serilerin toplamları ve farkları terim bazında toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak elde edilir. Yani, eğer

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

ise, o zaman

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

Çarpma ve Bölme

Yukarıdaki tanımlara benzer bir şekilde, fonksiyonların çarpımının kuvvet serisi şu şekilde edilmektedir:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ dizisi ${\displaystyle a_{n}}$ ve ${\displaystyle b_{n}}$ dizilerinin girişimi olarak bilinmektedir.

Bölme içinse aşağıda verilen işlemler gözönüne alınmalı ve daha sonra terimler karşılaştırılarak işlem yapılmalıdır:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right).}$

Türev ve İntegral

Eğer bir fonksiyon kuvvet serisi şeklinde verilirse, bu fonksiyonun yakınsaklık bölgesi içinde terim bazında türevlenebilirdir.

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n+1}\ \left(x-c\right)^{n+1}}$ olsun,

${\displaystyle {\frac {|a_{n}|}{|n+1|}}\leq |a_{n}|}$ olduğundan, h(x) (en azından) mutlak yakınsaktır. Ayrıca ${\displaystyle h^{\prime }(x)}$, ${\displaystyle f(x)}$'e eşit olduğundan, aşağıdaki integral eşitliği elde edilir^[1]:

${\displaystyle \int _{y}^{z}\!f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(z-c\right)^{n+1}}{n+1}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(y-c\right)^{n+1}}{n+1}}.\,}$

Ortaya çıkan bu her iki seri de ilk seriyle aynı yakınsaklık bölgesine sahiptirler.

Analitik fonksiyonlar

R veya C 'nin açık bir U altkümesinde tanımlı bir f fonksiyonu, eğer yerel anlamda bir kuvvet serisi tarafından ifade edilebiliyorsa f 'ye analitik fonksiyon adı verilir. Yani, her a ∈ U için, a 'nın açık bir V( ⊆ U) komşuluğu vardır öyle ki a merkezli bir kuvvet serisi vardır ve her x ∈ V için f(x) 'e yakınsar.

Pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip her kuvvet serisi yakınsaklık bölgesinin öziçindeki her noktada analitiktir. Bütün holomorf fonksiyonlar karmaşık-analitiktir. Analitik fonksiyonların toplamları,farkları ve çarpımları analitiktir. Payda sıfır olmadığı zaman, analitik fonksiyonların bölümleri de analitiktir.

Eğer bir fonksiyon analitikse, o zaman sonsuz kere türevlenbilir. Ancak, gerçel durumda bunun tersi geçerli değildir. Yani bir fonksiyonun sonsuz kere türevlenebiilir olması analitik olduğunu göstermez. Analitik bir fonksiyon için, a_n katsayıları şu şlekilde hesaplanabilir:

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}.}$

Burada, ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ f 'nin c noktasındaki n 'inci türevini göstermektedir ve ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$ dir. Yani, her analitik fonksiyon yerel anlamda fonksiyonun kendi Taylor serisi tarafından temsil edilir.

Analitik fonksiyonun heryerel ifadesi ise tamamen fonksiyonun yerel ifadesi tarafından şu şekilde belirlenir: f ve g bağlantılı bir U kümesi üzerinde tanımlı iki analitik fonksiyon ise ve her n ≥ 0 için f ⁽ⁿ⁾(c) = g ⁽ⁿ⁾(c) eşitliğini sağlayan bir c∈U varsa, o zaman tüm x ∈ U için f(x) = g(x) eşitliği vardır.

Kuvvet serisinin mertebesi

α, bir f(x₁, x₂, …, x_n) kuvvet serisi için çoklu indeks olsun. O zaman f kuvvet serisinin derecesini a_α ≠ 0 koşulunun sağlayan en küçük |α| değeri veya f ≡ 0 ise 0 olarak tanımlarız. Tek değişkenli kuvvet serisinde durum o zaman f 'nin derecesi sıfır katsayıya sahip olmayan x kuvvetlerinin en küçüğüdür. Aynı tanım Laurent serilerine de genişletilebilir.

Ayrıca bakınız

• Taylor serisi
• Laurent serisi

Kaynaklar

1. Calculus A Complete Course, 4th Edition, Adams

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Formal Power Series (MathWorld)
• Eric W. Weisstein, Power Series (MathWorld)
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.