Cauchy-Hadamard teoremi

Matematikte, özellikle karmaşık analizde, Cauchy-Hadamard teoremi bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını hesaplamakta kullanılan önemli bir sonuçtur. Teorem ismini, Fransız matematikçi Augustin Louis Cauchy ve Jacques Hadamard'dan almıştır. Teorem, ilk defa 1821 yılında Cauchy tarafından yayınlanmıştır^[1] . Ancak; Hadamard aynı sonucu tekrar bulana kadar o kadar yaygın olarak da bilinen bir sonuç olmamıştır.^[2] Hadamard'ın bu teoremi ilk keşfi 1888'de olmuştur ve hatta bulduğu bu sonucu 1892'de yazdığı tezinde de kullanmıştır.^[3][4]

Teoremin ifadesi

Bir karmaşık değişkenli bir kuvvet serisini ele alalım:

${\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},\ a,c_{n}\in \mathbb {C} .}$

O zaman, ƒ 'nin a noktasındaki yakınsaklık yarıçapı olan R ile ${\displaystyle c_{n}}$ 'ler arasında şu şekilde bir ilişki vardır:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}.}$

Burada limsup, dizinin n 'inci öğesinden sonraki öğelerinin en küçük alt sınırının, n sonsuza giderken limitidir. Eğer dizi değerleri sınırsız ise, ki bu durumda lim sup ∞ olur, o zaman seri a civarında bile yakınsamaz. Ancak; lim sup 0 olursa, o zaman yakınsaklık yarıçapı ∞ olur ve bu da serinin karmaşık düzlemin her yerinde yakınsadığını gösterir.

Notlar

1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, ss. 116–117, ISBN 9780387963020 . İtalyanca'dan İngilizce'ye Warren Van Egmond tarafından çevirilmiştir.
3. Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris 106: 259–262 .
4. Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4^e Série VIII, http://www.archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft . Ayrıca şurada: Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Cauchy-Hadamard theorem (MathWorld) (İngilizce dilinde)