Dirichlet serisi

Matematikte Dirichlet serisi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir.

Burada s ve a_n (n = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade genel Dirichlet serisinin özel bir durumudur.

Dirichlet serileri çözümlemeli sayı kuramında önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı Dirichlet L-işlevlerinde olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır.

Örnekler

En ünlü Dirichlet serisi

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(n) Möbius işlevini belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere Möbius evirtimi ve Dirichlet katlaması uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, ${\displaystyle \scriptstyle \chi (n)}$ bir Dirichlet karakteri olmak koşuluyla

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

ifadesine ulaşılır. Burada ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ bir Dirichlet L-işlevini göstermektedir.

Diğer özdeşlikler ise şunlardır:

φ(n) totient olmak koşuluyla

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}$

Burada σ_a(n) bölen işlevi göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}}$

olarak yazılabilir.

Zeta işlevinin logaritması

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(s) > 1 için geçerlidir. ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ von Mangoldt işlevini göstermektedir. Buradan logaritmik türev

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

olarak hesaplanır.

Liouville işlevi (${\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)}$) kullanılarak

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$

ifadesine ulaşılır.

Ramanujan toplamı da benzer bir örnek sunmaktadır.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}}$

Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni

Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı {a_n}_{n ∈ N} işlevi için

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

ifadesi karmaşık değişken s'nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.

{a_n}_{n ∈ N} bir sınırlı seriyse buna karşılık gelen f Dirichlet serisi s'nin yarı açık düzleminde mutlak yakınsar (Re(s) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, a_n = O(n^k) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(s) > k + 1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.

a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} toplamlar kümesi n'de sınırlı ve k ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(s) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.

Her iki durumda da f, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir.

Bir Dirichlet serisinin yakınsaklık yatay ekseni karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, üs serisindeki yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır.

Türevleri

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

eşitliği sağlanıyorsa

${\displaystyle F'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(n) tümüyle çarpımsal işlevi tanımlanabiliyor ve seri Re(s) > σ₀ için yakınsıyorsa

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

ifadesi Re(s) > σ₀ için yakınsar. Burada ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ von Mangoldt işlevini göstermektedir.

Çarpımları

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

ve

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}}$

olduğu varsayılsın.

F(s) ve G(s), s > a ve s > b için mutlak yakınsak ise

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty }$

ifadesine ulaşılır.

a = b ve ƒ(n) = g(n) eşitlikleri sağlanıyorsa

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty }$

sonucu elde edilir.

İntegral dönüşümleri

Dirichlet serisinin Mellin dönüşümü Perron formülüyle hesaplanabilmektedir.

Ayrıca bakınız

• Genel Dirichlet serisi
• Euler çarpımı

Kaynakça

• G. H. Hardy & Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915)
• The general theory of Dirichlet's series, G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. Cornell University Library Digital Collections