Engel teoremi

matematiğin bir dalı olan Gösterim teorisi'nde,Engel teoremi Lie cebiri teorisinin temel teoremlerinden biridir, bir Lie cebiri için nilpotens iki kavramın özdeş olduğunu ileri sürmektedir.Teoremin yararlı bir matris biçimi bir Lie cebiri L nilpotent matris içerdiğinden, o zaman hepsi aynı anda kesinlikle üst üçgen şekline getirilebilir deniyor.Teoremi matematikçi Friedrich Engel 20 Temmuz 1890 tarihli Wilhelm Killing bir mektupta bunun bir kanıtı kabataslak Engel, Hawkins 2000, p. 176 almıştır. Engel öğrenci K.A. Umlauf Umlauf 2010. olarak yeniden basıldı onun 1891 tez tam bir kanıtını verdi.

Böyle T^k = 0 pozitif bir tamsayı k varsa bir vektör uzayı V üzerinde bir lineer operatör T nilpotent olarak tanımlanır. Örneğin, herhangi bir operatör olan girdileri sıfır olan köşegen bir matris tarafından üzerinde ve altında nilpotent verilmektedir.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&0&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&&\ddots &a_{n-1n}\\0&0&\cdots &\cdots &0\end{bmatrix}}.}$

Bir x bir L Lie cebrinin ögesi ek-nilpotent ancak ve ancak doğrusal operatör olarak L ile tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]\ }$

nilpotenttir. Unutmadan Lie cebrinde doğrusal L(V) operatörlerin V olarak, eş operatör I_V ek-nilpotent (çünkü ${\displaystyle \operatorname {ad} _{I_{V}}=0:L(V)\rightarrow L(V)}$) ama bir nilpotent operator değildir.

Bir Lie cebri L ancak ve ancak düşük merkez serisi yinelemeli ise nilpotent olarak tanımlanır

${\displaystyle \mathbf {L} ^{0}=\mathbf {L} ,\quad \mathbf {L} ^{i+1}=[\mathbf {L} ,\mathbf {L} ^{i}]\ }$

tarafından

eninde sonunda {0}'a ulaşır.

Teorem. Bir sonlu-boyutlu Lie cebri L nilpotenttir ancak ve ancak L nin her ögesi ek-nilpotenttir.

alan tabanının altında hiçbir varsayımın gerekli olmadığını unutmayın Engel teoreminin kanıtı anahtar lemma aşağıdaki gerçektir linear operatorlerin Lie cebri hakkında on sonlu boyutlu vektör uzayı kendi içinde yararlı olan:

Diyelimki L L(V)nin bir Lie altcebri olsun. İse L consists of nilpotent operatorlerin ancak ve ancak burada bir dizidir

V böylece ${\displaystyle V_{0}=0}$, ${\displaystyle V_{n}=V}$ nin altuzayinin v:${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\ }$ ve

${\displaystyle \mathbf {L} \,V_{i+1}\subseteq V_{i},\quad \forall i\leq n-1.\ }$

Böylece nilpotent operatörlerin "Lie cebiri" aynı anda kesinlikle üst üçgenlestirilebilirdir .

Ayrıca bakınız

• Lie'nin teoremi
• Engel açılımı

Kaynakça

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Hawkins, Thomas (2000), Emergence of the theory of Lie groups, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98963-1, MR 1771134, http://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1 
• G. Hochschild, The Structure of Lie Groups, Holden Day, 1965.
• J. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1972.
• Umlauf, Karl Arthur (2010) [1891] (German), Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null, Inaugural-Dissertation, Leipzig, Nabu Press, ISBN 978-1-141-58889-3, http://books.google.com/books?isbn=978-1141588893