Fourier dönüşümü
Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:
ve
şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,
,
ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere eşlemesine Fourier Dönüşümü, eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.
Giriş
Örnek
Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur.Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir(eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. ( bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gaussian fonksiyondur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi varolan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir.İlk görüntü bu grafı içerir. hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır.İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir.İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t) nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t) nin gerçel kısmıdır.Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz(0.5 durumu içinde). Diğer taraftan,eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür.Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir ,ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur
- 3 hertz'te salınım gösteren anaç fonksiyon.
- 3 hertz'te Fourier dönüşümü için integrand'ın gerçek ve sanal kısımları
- 5 hertz'te Fourier dönüşümü için gerçek ve sanal kısımlar
- 3 ve 5 hertz etiketleri ile Fourier dönüşümü.
Temel özellikler
Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: Pinsky 2002.
- Doğrusallık
- Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise
- Öteleme
- Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer ise
- Modülasyon
- Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer ise
- Ölçekleme
- bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise
- Birleşim
- Eğer then
- Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise , şöyleki, bir Hermisyen fonksiyondur.
- Ve eğer f saf sanal, ise
- Integrasyon
- Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen
İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi () tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir .
Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları
Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada ile Fourier dönüşümü, sırasıyla , ve ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.
Fonksiyonel ilişkiler
Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir Erdélyi (1954) veya Kammler (2000, appendix).
Fonksiyon | Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans | Açıklamalar | |
---|---|---|---|---|---|
|
|
|
Tanım | ||
101 | Doğrusallık | ||||
102 | Zaman domeni içinde kayma | ||||
103 | Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti | ||||
104 | zaman domeninde ölçekleme. Eğer is büyük, ise 0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve yayılır ve düzleşir. | ||||
105 | ikilik.Burada Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.
ve veya veya 'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları. | ||||
106 | |||||
107 | Bu 106'nın çiftidir | ||||
108 | gösterimi ve 'in evrişimidir— bu kural evrişim teoremidir | ||||
109 | Bu 108'in çiftidir | ||||
110 | için saf gerçek | Hermisyen simetridir. karmaşık eşleniklerine ayrılır. | |||
111 | için bir saf gerçek çift fonksiyon | , ve saf gerçek çift fonksiyondur. | |||
112 | için bir saf gerçek tek fonksiyon | , ve saf sanal tek fonksiyonlar. | |||
113 | Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi |
Kare-integrallenebilir fonksiyonlar
bu tablo içinde Fourier dönüşümleri Campbell & Foster 1948 içinde bulunabilir, Erdélyi 1954, veya Kammler 2000 in eki.
Fonksiyon | Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans | Açıklamalar | |
---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|||
201 | dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır | ||||
202 | kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir, ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır | ||||
203 | tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur | ||||
204 | kural 203'ün ikilisi. | ||||
205 | u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0. | ||||
206 | Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır. | ||||
207 | a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur. | ||||
208 | Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir | ||||
209 |
|
|
|
Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir. |
Dağılımlar
Fourier dönüşümleri bu tablo (Erdélyi 1954) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki.
Fonksiyon | Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans | Açıklamalar | |
---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|||
301 | δ(ξ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder. | ||||
302 | 301'in kural ikizi. | ||||
303 | Bunu 103 ve 301'den izleyin | ||||
304 | 101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor: | ||||
305 | 101 ve 303 kuralından aşağıda kullanılıyor | ||||
306 | |||||
307 | |||||
308 | Burada, n bir doğal sayılar sicimi Dirac delta fonksiyonunun türevinin n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor,tüm polinomlar dönüştürülbilir. | ||||
309 | Burada sgn(ξ) işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor | ||||
310 | |
1/xn homojen dağılım ve dağılımsal türev ile tanımlanır | |||
311 | Bu formül 0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise bir yerel integrallenebilir fonksiyondur, ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon katkılı dağılımın uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorfik fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor , ayrıca için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.) | ||||
312 | 309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,. | ||||
313 | u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301, ve 312 kurallarından bunu izleyin . | ||||
314 | Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak bilinir. Bu ,dağılımlar ile birlikte olarak aslında 302 ve 102 den elde edilebilir sonuçtur | ||||
315 | J0(x) fonksiyonu sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur | ||||
316 | Bu 315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur | ||||
317 | Euler–Mascheroni sabitidir. | ||||
318 | Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur. |
İki-boyutlu fonksiyonlar
Fonksiyon | Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü birim-olmayan, açısal frekans | |
---|---|---|---|---|
400 | |
|
| |
401 | ||||
402 |
- Açıklamalar
400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.
401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.
402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyon). Stein & Weiss 1971, Thm. IV.3.3
Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller
Fonksiyon | Fourier dönüşümü birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü birim olmayan,açısal frekans | |
---|---|---|---|---|
500 | |
|
| |
501 | ||||
502 | ||||
503 | ||||
504 |
- Açıklamalar
501 için: Fonksiyon χ[0, 1] aralığının gösterge işlevi [0, 1].Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. Jn/2 + δ fonksiyonu için n/2 + δ ile, birinci tür bir Bessel işlevidir.n = 2 alınması ve δ = 0 402 üretir.Stein & Weiss 1971, Thm. 4.15
502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm α ≠ −n, −n − 1, … için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.
503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir.Anılan sayfa ifadenin ardından, and
504 için: Burada .BakınızStein & Weiss 1971, s. 6
Ayrıca bakınız
- Matematiksel fonksiyonların listesi
- Analog işaret işleme
- Beevers–Lipson şeridi
- Ayrık Fourier dönüşümü
- DFT matrisi
- Ayrık-zaman Fourier dönüşümü
- Hızlı Fourier dönüşümü
- Fourier integral işlemci
- Fourier ters teoremi
- Fourier çarpıcı
- Fourier serisi
- Fourier sin dönüşümü
- Fourier–Deligne dönüşümü
- Fourier–Mukai dönüşümü
- Fraksiyonel fourier dönüşümü
- Indirek Fourier dönüşümü
- Integral dönüşüm
- Hankel dönüşümü
- Hartley dönüşümü
- Laplace dönüşümü
- Doğrusal kurallı dönüşüm
- Mellin dönüşümü
- Çokboyutlu dönüşüm
- NGC 4622,NGC 4622 Fourier dönüşümü özellikle görüntü m = 2.
- Kısa-zaman Fourier dönüşümü
- Uzay-zaman Fourier dönüşümü
- Spektral kestirim
- Sembolik integrasyon
- Zaman esneme dağılımlı Fourier dönüşümü
- Dönüşüm(matematik)
Kaynakça
- Boashash, B., ed. (2003), Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference, Oxford: Elsevier Science, ISBN 0-08-044335-4
- Bochner S., Chandrasekharan K. (1949), Fourier Transforms, Princeton University Press
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd bas.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4.
- Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc..
- Condon, E. U. (1937), "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", Proc. Nat. Acad. Sci. USA 23: 158–164.
- Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5.
- Dym, H; McKean, H (1985), Fourier Series and Integrals, Academic Press, ISBN 978-0-12-226451-1.
- Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms, 1, New Your: McGraw-Hill
- Fourier, J. B. Joseph (1822), Théorie Analytique de la Chaleur, Paris: Chez Firmin Didot, père et fils, http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ&pg=PA525&dq=%22c%27est-%C3%A0-dire+qu%27on+a+l%27%C3%A9quation%22&hl=en&sa=X&ei=SrC7T9yKBorYiALVnc2oDg&sqi=2&ved=0CEAQ6AEwAg#v=onepage&q=%22c%27est-%C3%A0-dire%20qu%27on%20a%20l%27%C3%A9quation%22&f=false
- Fourier, J. B. Joseph; Freeman, Alexander, translator (1878), The Analytical Theory of Heat, The University Press, http://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA408&dq=%22that+is+to+say,+that+we+have+the+equation%22&hl=en&sa=X&ei=F667T-u5I4WeiALEwpHXDQ&ved=0CDgQ6AEwAA#v=onepage&q=%22that%20is%20to%20say%2C%20that%20we%20have%20the%20equation%22&f=false
- Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Prentice-Hall, ISBN 0-13-035399-X.
- Grafakos, Loukas; Teschl, Gerald (2013), "On Fourier transforms of radial functions and distributions", J. Fourier Anal. Appl. 19: 167–179, DOI:10.1007/s00041-012-9242-5.
- Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0262773.
- Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
- James, J.F. (2011), A Student's Guide to Fourier Transforms (3rd bas.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-17683-5.
- Kaiser, Gerald (1994), A Friendly Guide to Wavelets, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3711-7, http://books.google.com/books?id=rfRnrhJwoloC&pg=PA29&dq=%22becomes+the+Fourier+%28integral%29+transform%22&hl=en&sa=X&ei=osO7T7eFOqqliQK3goXoDQ&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22becomes%20the%20Fourier%20%28integral%29%20transform%22&f=false
- Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3
- Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
- Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4, http://books.google.com/?id=QCcW1h835pwC
- Pinsky, Mark (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, ISBN 0-534-37660-6, http://books.google.com/books?id=tlLE4KUkk1gC&pg=PA256&dq=%22The+Fourier+transform+of+the+measure%22&hl=en&sa=X&ei=w8e7T43XJsiPiAKZztnRDQ&ved=0CEUQ6AEwAg#v=onepage&q=%22The%20Fourier%20transform%20of%20the%20measure%22&f=false
- Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4.
- Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (Third bas.), Singapore: McGraw Hill, ISBN 0-07-100276-6.
- Rahman, Matiur (2011), Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions, WIT Press, ISBN 1845645642, http://books.google.com/books?id=k_rdcKaUdr4C&pg=PA10.
- Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Fourier Analysis: An introduction, Princeton University Press, ISBN 0-691-11384-X, http://books.google.com/books?id=FAOc24bTfGkC&pg=PA158&dq=%22The+mathematical+thrust+of+the+principle%22&hl=en&sa=X&ei=Esa7T5PZIsqriQKluNjPDQ&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22The%20mathematical%20thrust%20of%20the%20principle%22&f=false.
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9, http://books.google.com/books?id=YUCV678MNAIC&dq=editions:xbArf-TFDSEC&source=gbs_navlinks_s.
- Taneja, HC (2008), "Chapter 18: Fourier integrals and Fourier transforms", Advanced Engineering Mathematics:, Volume 2, New Delhi, India: I. K. International Pvt Ltd, ISBN 8189866567, http://books.google.com/books?id=X-RFRHxMzvYC&pg=PA192&dq=%22The+Fourier+integral+can+be+regarded+as+an+extension+of+the+concept+of+Fourier+series%22&hl=en&sa=X&ei=D4rDT_vdCueQiAKF6PWeCA&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=%22The%20Fourier%20integral%20can%20be%20regarded%20as%20an%20extension%20of%20the%20concept%20of%20Fourier%20series%22&f=false.
- Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd bas.), Oxford University: Clarendon Press (yayın: 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
- Wilson, R. G. (1995), Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics, New York: Wiley, ISBN 0-471-30357-7.
- Yosida, K. (1968), Functional Analysis, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.
Dış bağlantılar
- The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
- The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
- Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
- Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
- Stanford Video Course on the Fourier Transform
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Fourier transform", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/f041150.htm
- Eric W. Weisstein, Fourier Transform (MathWorld)
- The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
- An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform
- Java Library for DFT
- FFT in Python
- Fourier Transforms Gary D. Knott
- Fourier Transforms on www.continuummechanics.org