Fraksiyonel fourier dönüşümü

Matematikte, harmonik analiz alanında, kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek doğrusal dönüşümlerin bir ailesidir. Bu nedenle, -zaman ve frekans- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir tamsayı olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz geri alma ve örüntü tanıma için,filtre tasarımı ve sinyal analizi arasında değişir.

kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek lineer dönüşümlerin bir ailesidir.

FRFT fraksiyonel konvolüsyon, korelasyon ve diğer işlemleri tanımına kullanılabilir, ve aynı zamanda lineer kanonik dönüşümler(LCT) içine daha fazla genelleştirilebilir,ve ayrıca Namias'ın.^[1] Green fonksiyonu için çözümü yardımıyla faz uzayı rotasyonları için FRFT'nin bir erken tanımı Condon^[2] tarafından verildi,Hermit polinomları üzerinde Wiener'in ^[3] çalışması genelleştirildi

Bağımsız birkaç araştırma grubu tarafından 1993 civarında yeniden icat edilene kadar ancak yaygın olarak kabul edilmemiştir.^[4] O zamandan beri,fraksiyonel fourier boyutunda sınırlı bant kabul edilen sinyalleri için,Shannon örnekleme teoremine^[5][6] olan ilgide büyük bir artış olmuştur.

"Kesirli Fourier dönüşümü" için tamamen farklı bir anlam frekansı alanı kesirli bir miktarda kaydırılarak ayrık bir Fourier dönüşümüne karşılık bir durumda z-dönüşümü için aslında başka bir isim olarak ve özellikle Bailey ve Swartztrauber^[7] tarafından tanıtıldı (bir doğrusal kesir tarafından giriş çarpılması) ve frekans noktalarının (örn. tayfı sadece küçük bir kısmı göz önünde bulundurarak) bir fraksiyonel kümesi de değerlendiriliyor. (Bu tür dönüşümler Bluestein FFT algoritması tarafından verimli bir şekilde değerlendirilebilir.) Bu terminoloji teknik edebiyatının en kullanım dışına çıkmış,yani,FRFT^[8] tercih edilecek Bu makalenin geri kalanında FRFT olarak geçecek.Fourier dönüşümünün bir genelleştirmesi ile ilgili cıvıltı dönüşümünede ayrıca bakılmalıdır

Tanım

Sürekli Fourier fonksiyonu bir ${\displaystyle f(t)}$ dönüşümü halinde ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ ile gösterilir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))}$, daha sonra, genel olarak, benzer şekilde, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))}$;benzer şekilde, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}(F)}$ dönüşümü ters n'inci gücü gösterir.FRFT ile gösterilen tamsayı olmayan herhangi bir gerçek sayı için ${\displaystyle n=2\alpha /\pi }$ herhangi gerçel sayı ${\displaystyle \alpha }$ üslerin idare ve özelliklerine sahip su tanıma uzanır:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)}$

olduğunda, bir tamsayıdır, ve:

Daha spesifik olarak,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)}$ denklemi ile ifade edilir:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt.}$

unutmadan, bu tam olarak sürekli bir Fourier dönüşümü tanımı haline gelir ve bunun tersi ${\displaystyle \alpha =-\pi /2}$ sürekli bir Fourier dönüşümü tanımına dikkat edilmelidir. çünkü yukarıda ayrışan kotanjant ve cosekant fonksiyonlarına bakılırsa bu ifade daha sonra,katlı bir tamsayı olmaktadır. Bununla birlikte, bu limit alınabilir ve bu integral Dirac delta fonksiyonu'na neden olabilir,kolayca,ve sırasıyla, ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)}$ veya basitçe ${\displaystyle f(t)}$ veya ${\displaystyle f(-t)}$ için ${\displaystyle \alpha }$ bir çift veya tek katlı $\pi$, olarak sayılmalıdır.

İlgili dönüşümler

Yine benzer dönüşümler için ayrık Fourier dönüşümü veya ayrık fraksiyonal Fourier dönüşümü ile ilgili Zeev Zalevsky tarafından tanımlanan fraksiyonel genellemeler vardır

Özellikler

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$ operatörünün özellikleri var:

• FT kuvvetleri ile uyum : Eğer ${\displaystyle \alpha \equiv \pi k\,[2\pi ]}$ ise, burada k bir tamsayı, ise

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}^{k}}$

Genelleme

Fourier dönüşümü aslında bozonik'tir;çünkü bu üstüstelik kuralları ve ilişkili girişim desenleri ile çalışır,ayrıca bir fermiyonik Fourier dönüşümüdür.^[9] Burada bir süpersimetrik FRFT içinde genelleştirme ve bir süpersimetrik Radon dönüşümü^[9],ayrıca bir fraksiyonel Radon dönüşümü, bir simplektik FRFT, ve bir simplektik dalgacık dönüşümüdür.^[10] Çünkü kuantum devreleri birim işlemci üzerinde temellidir,ayrıca ikinci olarak integral dönüşümlerini hesaplamak için kullanılan bir fonksiyon uzayı üzerinde birim işlemcidir. Bir kuantum devresi FRFT uygulamak için tasarlanmıştır.^[11]

• Toplamsallık:herhangi gerçek açılar α, β,için

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.}$

Fraksiyonel çekirdek

FrFT bir integral dönüşümüdür

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x}$

burada α-açı çekirdektir

${\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{ eğer }}\alpha {\mbox{ bir çoğulu değil ise }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{ eğer }}\alpha {\mbox{ bir çoğulu ise }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{ eğer }}\alpha +\pi {\mbox{ bir çoğulu ise }}2\pi ,\\\end{cases}}}$

(karekök ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ aralığı içinde yer alan sonuçların bileşenleri böyle tanımlanır).

burada yine özel durum eğer α yaklaşıklığı π'nin bir çoğul limit davranış ile oluşturuluyor ise,

FrFT'de bazı çekirdek özellikleri olarak şunlar var:

• simetri: ${\displaystyle K_{\alpha }(u,u')=K_{\alpha }(u',u)}$
• ters eleman: ${\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)}$
• toplam: ${\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}$

Kesirli Fourier dönüşümünün Yorumlanması

Daha fazla bilgi: Lineer kanonik dönüşümler

Fourier dönüşümünün herzamanki kullanılan şekli bir zaman domeni sinyalinin bir frekans domeni sinyaline dönüşümüdür.Diğer taraftan,ters Fourier dönüşümü ise frekans domeni sinyalini zaman domeni sinyaline dönüştürür.Görünen o ki,Kesirli Fourier dönüşümü bir sinyale (ya zaman ya da frekans domeni) sürekli zaman ve frekans domenine dönüştürülebilir,zaman-frekans domeni içinde bu bir döngüdür. Lineer kanonik dönüşüm tarafından genelleştirilen bir bakış açısıdır,bu kesirli Fourier dönüşümü genelleştirilerek dönme dışındada frekans-zaman domeni,doğrusal dönüşümlerini sağlar.

Bir örnek olarak aşağıda Şekil alalım:sinyal zaman domeninde dörtgen ise(aşağıda),frekans domeni içinde bir sinc fonksiyon alınacak. Ancak kesirli Fourier dikdörtgen sinyaline dönüştürme uygularsanız, dönüşüm çıkış zaman ve frekans arasındaki bir domen olacaktır.

Aslında, kesirli Fourier dönüşümü zaman frekans dağılımı üzerine bir dönme işlemdir.Yukarıdaki tanımından α = 0 için,burada kesirli Fourier Dönüşümü uyguladıktan sonra herhangi bir değişiklik olmayacak,ve bir Fourier dönüşümüne α = π/2 için, kesirli Fourier dönüşümü alınıyor.Burdaki zaman frekans dağılımını  π/2 ile döndürülür. α için diğer değer,α nın zaman frekans dağılımına göre kesirli Fourier dönüşümünün döngüsüdür.Aşağıdaki resim  αnın değişik değerleri ile birlikte kesirli Fourier'e dönüştüren sonuçları gösterir.

Uygulama

Fraksiyonel Fourier dönüşümü zaman frekans analizi ve DSP'de kullanılabilir. Bu gürültüyü filtrelemek için yararlıdır, ama zaman-frekans domeninde istenen sinyalin örtüşmemesi koşulu ile.Aşağıdaki örneği inceleyelim.Gürültüyü ortadan kaldırmak için doğrudan bir filtre uygulayamayız,ancak kesirli Fourier dönüşümü yardımıyla, öncelikle (istenilen sinyal ve gürültü dahil) sinyal döndürebiliriz. O halde sadece istenilen sinyali geçmesine izin verecek özel bir filtre uygulayabiliriz. Böylece gürültü tamamen kaldırılır. Sonra biz geri sinyale döndürmek için tekrar kesirli Fourier dönüşümünü kullanıyoruz ve istenilen sinyal alabiliyoruz.

Böylece, sadece zaman alanında kesilme kullanılarak, veya eşdeğeri frekans domenindeki alçak geçiren filtre'lerle, herhangi bir konveks küme zaman-frekans alanını kesebilirsiniz;kesirli Fourier kullanılarak zaman domeni veya frekans domeninde yöntemleri kullanılarak sadece eksene paralel dikdörtgenler dışındaki kesimin dönüşümüne izin verir.

Bakınız

Diğer zaman-frekans dönüşümleri:

• Lineer kanonik dönüşümler
• kısa-süreli Fourier dönüşümü
• Dalgacık dönüşümü
• Chirplet dönüşümü

Kaynaklar

1. V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
2. E. U. Condon, "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", Proc. Nat. Acad. Sci. USA 23, (1937) 158–164.
3. N. Wiener, "Hermitian Polynomials and Fourier Analysis", J. Mathematics and Physics 8 (1929) 70-73.
4. Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
5. Ran Tao, Bing Deng, Wei-Qiang Zhang and Yue Wang, "Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain," IEEE Transactions on Signal Processing, 56 (1), 158–171 (2008).
6. A. Bhandari and P. Marziliano, "Sampling and reconstruction of sparse signals in fractional Fourier domain," IEEE Signal Processing Letters, 17 (3), 221–224 (2010).
7. D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
8. J. Shi, N.-T. Zhang, and X.-P. Liu, "A novel fractional wavelet transform and its applications," Sci. China Inf. Sci. vol. 55, no. 6, pp. 1270-1279, June 2012. URL: http://www.springerlink.com/content/q01np2848m388647/
9. Hendrik De Bie, Fourier transform and related integral transforms in superspace (2008), http://www.arxiv.org/abs/0805.1918
10. Hong-yi Fan and Li-yun Hu, Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel (2009), http://www.arxiv.org/abs/0902.1800
11. Andreas Klappenecker and Martin Roetteler, Engineering Functional Quantum Algorithms (2002), http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0208130

Dış bağlantılar

• DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions
• "Fractional Fourier Transform" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• Dr YangQuan Chen's FRFT (Fractional Fourier Transform) Webpages

Kaynakça

• Ozaktas, Haldun M.; Zalevsky, Zeev; Kutay, M. Alper (2001), The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing, Series in Pure and Applied Optics, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-96346-1, http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/wileybook.html 
• Candan, C.; Kutay, M.A.; Ozaktas, H.M. (May 2000), "The discrete fractional Fourier transform", IEEE Transactions on Signal Processing 48 (5): 1329–1337, DOI:10.1109/78.839980 
• A. W. Lohmann, "Image rotation, Wigner rotation and the fractional Fourier transform," J. Opt. Soc. Am. A 10, 2181–2186 (1993).
• Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• Saxena, R., Singh, K., (2005) Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing, J. Indian Inst. Sci., Jan.–Feb. 2005, 85, 11–26. http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf.