Hermit polinomları

Matematik'te,Hermite polinomları olasılık içinde Edgeworth serisi olarak ortaya çıkan bir klasik ortogonal dizi'dir; kombinatorik içinde, bir örneği umbral hesap'a uygun bir Appell dizisi'dir.Gaussian dördün sayısal analizinde; ve Fizik'te kuantum harmonik osilatör'ün özdurum'larını verir . Ayrıca Gaussian gürültü'nün nonlineer işlemleri ile bağlantılı olarak sistem teorisinde kullanılmaktadır.^[1] Laplace (1810) ^[2] tarafından daha önce incelenmiş olmasına rağmen adını veren Charles Hermite (1864)'tir.

Tanım

Hermite polinomlarının normalleştirilmesinin iki farklı standart yolu vardır:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

("olasılıkçıların' Hermite polinomları")dır., ve

${\displaystyle (2)\ \ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

("fizikçilerin' Hermit polinomları")dır. Bu iki tanım tam olarak eşdeğer değildir; ya da diğer bir yeniden ölçeklendirme

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n/2}{\mathit {He}}_{n}({\sqrt {2}}\,x),\qquad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Burada Hermit polinomal dizisinin farklı bir varyansı vardır,varyansın ürünleri aşağıdadır. standart kaynaklarda gösterim olarak He ve H Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, and Roelof Koekoek et al. (2010) ve Abramowitz & Stegun. Bu He_n polinomlar bazen H_n ile ifade edilir, özelliklerde olasılık teorisinde,çünkü

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}}$

olasılık yoğunluk fonksiyonu için normal dağılım ile beklenen değer 0 ve standart sapma 1'dir.

ilk altı(olasılıkçı') Hermit polinomu He_n(x).

Ilk onbir olasılıkçı 'Hermit polinomları:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{2}(x)=x^{2}-1\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{3}(x)=x^{3}-3x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,}$

${\displaystyle {\mathit {He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,}$

ilk altı (fizikçi') Hermit polinomu H_n(x).

ve ilk onbir fizikçi 'Hermit polinomları:

${\displaystyle H_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x\,}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,}$

${\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,}$

${\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,}$

${\displaystyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,}$

${\displaystyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,}$

${\displaystyle H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,}$

Özellikler

H_n polinomunun derecesi n dir. olasılıkçı' versiyon He nin başkatsıyısı 1, fizikçi' versiyon H nin başkatsayısı 2ⁿdir.

Ortogonalite

H_n(x) ve He_n(x) n = 0, 1, 2, 3, .... için ninci-derece polinomlardır. Burada ağırlık fonksiyonu nun ortogonal polinom'ları sırasıyla (ölçüm)

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}$   (He)

veya

${\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}$   (H)

dır.,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}$

eğer m ≠ n.ayrıca,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}n!\delta _{nm}}$   (olasılıkçı)

veya

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm}}$   (fizikçi).

olasılıkçı polinomları standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonu açısından böylece ortogonaldir.

Tamlık

(olasılıkçı veya fizikçi)Hilbert uzayı'nda ortogonal bazdaki bir formu karşılayan fonksiyonun Hermit polinomları

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

önceki bölümde tanımlandığı gibi Gauss ağırlık fonksiyonu w (x) de dahil olduğu İntegral tarafından verilen iç çarpım

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x.}$

L²(R, w(x) dx) için ortogonal temelde bir tam ortogonal sistem'dir.Bir ortogonal sistemi için tamlık, sistemdeki tüm ƒ ∈ L²(R, w(x) dx) fonksiyonlarının sadece 0 fonksiyonuna ortogonal olmasıdır..Hermite polinomların lineer açıklıklı tüm polinomların alanı olduğundan,(fizikçi durumu için) ƒ den elde edildiğini gösterilmesi gerekir.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=0}$

her n ≥ 0 için,o zaman ƒ = 0. tam fonksiyon'u görebilmenin tek olası yolu

${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{zx-x^{2}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=0}$

her t için gerçek anlamda aynı şekilde ortadan kaybolur.Aslında F(it) = 0 ƒ(x) exp(−x²)'ın Fourier dönüşümü 0'dır,bu nedenle hemen hemen heryerdeƒ 0 'dır. yukarıdaki eksponansiyel bir azalma ile diğer ağırlıkların tamlık kanıtı geçerli varyantıdır.Hermit durumu içinde,tamlık anlamına geldiği kanıtlanmasıda ayrıca mümkündür (bakınız "tamlık ilişkisi" aşağıda).

Aslında Hermit polinomlarının bir eşdeğer formülasyonu L²(R, w(x) dx) için ortogonal bazdır Hermit fonksiyonlarının (aşağıya bakınız) tanıtımı, ve Bu Hermite fonksiyonları söyleyerek bir L²(R) için ortonormal bazdır.

Hermit diferansiyel denklemi

Olasılıkçı' Hermit polinomlarının çözümü olan diferansiyel denklem

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}$

burada λ bir sabittir.,sınır koşullarına sahip olan u polinomları sonsuzda sınırlı olmalıdır. Bu sınır koşulları ile,λ yalnızca bir non-negatif tamsayı olduğunda denklemin çözümü vardır, ve yukarda genel bir ölçekleme, u(x) = H_λ(x) tarafından verilen benzersiz bir çözümdür.Bir özdeğer problemi'nin yeniden yazılan diferansiyel denklemi

${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u}$

Diferansiyel operatör Lnin özfonksiyonu'nun çözümüdür . Bu özdeğer problemi Hermite denklemi olarak adlandırılır, aynı zamanda denklemle yakından ilişkili ayrıca kullanılan terim bu denklem için kullanılmasına rağmen

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u}$

'Hermite polinomlarının fizikçi çözümleridir. Daha genel sınır koşulları ile, Hermite polinomları daha genel analitik fonksiyon kullanılarak elde edilip genelleştirilebilir λ için H_λ(z) bir karmaşık indekstir bir kontur integral Courant & Hilbert 1953 terimleri içinde açık formül verilebilir.

Özyineleme ilişkisi

Hermite polinomları dizisi ayrıca özyineleme'den elde edilir

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).\,\!}$ (olasılıkçı)

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).\,\!}$ (fizikçi )

Hermite polinomları bir teşkil Appell dizisi teşkil eder,diğer bir değişle Bu eşitliği içeren bir polinom dizisi vardır

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}'(x)=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}$ (olasılıkçı)

${\displaystyle H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!}$ (fizikçi)

veya özdeşlik,

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)}$ (olasılıkçı)

${\displaystyle H_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).}$ (fizikçi)

(Bu son iki eşitliğin denkliği açık olmayabilir, ama rutin bir deneme ile eşitlik kanıtlanabilir). Bu Hermite polinomları da karşılayacak olan şu yineleme ilişkisi

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\,\!}$ (olasılıkçı)

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!}$ (fizikçi)

H₀(x) ve H₁(x) ön polinomları ile birlikte bu son ilişki ile, uygulamada polinomlar hızlı bir şekilde hesaplanabilir.

Aşağıdaki Turan eşitsizliği'dir:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {He}}_{n-1}(x){\mathit {He}}_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {He}}_{i}(x)^{2}>0.}$

Daha ötesi,aşağıdaki çarpma teoremi dahilinde:

${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(\gamma x)=\sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{n \choose 2i}{\frac {(2i)!}{i!}}{\mathit {H}}_{n-2i}(x).}$

Açık ifadesi

Fizikçi' Hermit polinomlarının açık ifadesi yazılabilir

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{n/2}{\frac {(-1)^{n/2-\ell }}{(2\ell )!(n/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell }}$

n çift fonksiyon değerleri için

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{\ell =0}^{(n-1)/2}{\frac {(-1)^{(n-1)/2-\ell }}{(2\ell +1)!((n-1)/2-\ell )!}}(2x)^{2\ell +1}}$

n. tek değerleri içindir.Burada iki denklem birleştirilerek belki bir zemin fonksiyonu elde edilebilir:

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

olasılıkçı' Hermite polinomları He benzer formülü var,2x 'ın kuveti (√2)x ile ilgili kuvvet ile değiştirilerek belki bundan elde edilebilir, ve 2^-n/2 taplamı tarafından tam çarpım toplamı benzer bir formül olasılıkçı 'Hermite polinomları He ile ilgili, (√2)x kuvveti ile 2x kuvveti değiştirilmesi, ve 2-n / 2 ile çarpılması suretiyle elde edilen 2^-n/2 toplamı tarafından tam çarpımı ile temin edilebilir. üstel üreteç fonksiyonu tarafından verilen Hermit polinomları

${\displaystyle \exp(xt-t^{2}/2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$ (olasılıkçı)

${\displaystyle \exp(2xt-t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$ (fizikçi).

Bu eşitlik bütün x, t karmaşık değerleri içindir , ve x 'ın Tam fonksiyon z → exp(−z²) (fizikçiler durumu) Taylor açılımı yazılarak ile elde edilebilir. (fizikçi) Cauchy's Integral Formülü tarafından kullanılan üreteç fonksiyonu Hermite polinomlarından türetilerek yazılabilir

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{e^{-z^{2}} \over (z-x)^{n+1}}\,dz.\,\!}$

Bu sum ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$ içinde kullanılıyor,bir rezidü hesabı kullanılarak geri kalan entegral değerlendirilir ve istenilen üreteç fonksiyonuna ulaşılır.

Beklenen değer

Eğer X bir normal dağılım'la bir rastgele değişken birlikte standard sapma 1 ve beklenen değer μ ise

${\displaystyle E({\mathit {He}}_{n}(X))=\mu ^{n}.\,\!}$ (olasılıkçı)

Asimptotik açılım

Asimtotiklik,${\displaystyle n}$ ile sonsuza gitme eğilimindedir, açılımı

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-n{\frac {\pi }{2}}\right)}$ (physicist^[3])

geçerlidir. Değerlendirilmesi daha geniş bir yelpaze ile ilgili bazı durumlarda,için bir faktör dahil edilmesi gereklidir

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-n{\frac {\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma \left(n\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-n{\frac {\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}}$

Bunu daha basitleştirilmiş için,limit içinde Stirling' yaklaşımı kullanılabilir

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-n{\frac {\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}}$

Bu açılım yazışma ilkesinin limit klasik yaklaşımı ile uyumlu olan kuantum harmonik osilatör dalgası fonksiyonunun çözümü için gerekir. Hassas bir yaklaşım^[4],sıfıra yakın köşesi bu düzensiz aralıklar göz önüne alınmalıdır , ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \phi \leq \pi -\epsilon }$ için yerine koymada ${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\phi )}$dan yararlanılır, birlikte bunun için tektip yaklaşım

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{n/2+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-1/4}(\sin \phi )^{-1/2}\cdot \left[\sin \left(\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin(2\phi )-2\phi \right)+{\frac {3\pi }{4}}\right)+O(n^{-1})\right].}$

tekdüze ve geçiş bölgesi için benzer yaklaşımlara sahiptir.özellikle, eğer ${\displaystyle 0<\epsilon \leq \phi \leq \omega <\infty }$ için ${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\phi )}$ ise

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{n/2-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-1/4}(\sinh \phi )^{-1/2}\cdot \exp \left(\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\phi -\sinh(2\phi )\right)\right)\left[1+O(n^{-1})\right],}$

eğer ${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}-2^{-1/2}3^{-1/3}n^{-1/6}t}$ ile ${\displaystyle t}$ için karmaşık ve sınırlı ise

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{1/4}2^{n/2+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}n^{-1/12}\left[\mathrm {Ai} (-3^{-1/3}t)+O(n^{-2/3})\right]}$

burada ${\displaystyle \mathrm {Ai} (t)}$ ilk tür Airy fonksiyonu'dur.

Diğer fonksiyonlara İlişkileri

Laguerre polinomları

Laguerre polinomları Hermite polinomlarının özel bir durumu olarak ifade edilebilir.

${\displaystyle H_{2n}(x)=(-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})=4^{n}\,n!\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{n-{\frac {1}{2}} \choose n-i}{\frac {x^{2i}}{i!}}\,\!}$ (fizikçi)

${\displaystyle H_{2n+1}(x)=2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2})=2\cdot 4^{n}\,n!\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{n+{\frac {1}{2}} \choose n-i}{\frac {x^{2i+1}}{i!}}\,\!}$ (fizikçi)

Konfluent hipergeometrik fonksiyonlar ile İlişkisi

Hermite polinomları parabolik silindir fonksiyon'ları ile ifade edilebilir.

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}\,U\left(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},x^{2}\right)}$ (fizikçi)

burada ${\displaystyle U(a,b,z)}$ Whittaker konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur. Aynı şekilde,

${\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}\,{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}\left(-n,{\frac {1}{2}};x^{2}\right)}$ (fizikçi)

${\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\,{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}\left(-n,{\frac {3}{2}};x^{2}\right)}$ (fizikçi)

burada ${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a,b;z)=M(a,b;z)}$ Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur.

Uygulamalar

Hermit fonksiyonları

Fizikçilerin 'polinomları Hermite fonksiyonları olarak tanımlanabilir.

${\displaystyle \psi _{n}(x)=(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=(-1)^{n}(2^{n}n!{\sqrt {\pi }})^{-1/2}\mathrm {e} ^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}}$

Bu fonksiyonları ağırlığı fonksiyonunun kare köküdür ve uygun biçimde ölçeklenerek , elde edilen birbirine dik fonksiyonları:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{n\,m}\,}$

ve bu L²(R) formu ortonormaldir. Bu gerçek Hermite polinomları için karşılık gelen ifadeye (yukarıya bakınız) eşdeğerdir. Hermite fonksiyonları Whittaker fonksiyonu ile yakından ilişkilidir (Whittaker and Watson, 1962) ${\displaystyle D_{n}(z)\,}$:

${\displaystyle D_{n}(z)=(n!{\sqrt {\pi }})^{1/2}\psi _{n}(z/{\sqrt {2}})=\pi ^{-1/4}{\sqrt {2}}\mathrm {e} ^{z^{2}/4}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\mathrm {e} ^{-z^{2}}}$

ve böylece parabolik silindir fonksiyonu ilede ilişkilidir.Hermite fonksiyonlarına karşı gelen diferansiyel denklem:

${\displaystyle \psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0\,.}$

Bu denklem bir kuantum mekaniği harmonik osilatörü için Schrödinger denklemi'ne eşit bir denklemdir,böylece bu fonksiyonların özfonksiyonları vardır.

Hermite functions 0 (black), 1 (red), 2 (blue), 3 (yellow), 4 (green), and 5 (magenta).

Hermite functions 0 (black), 2 (blue), 4 (green), and 50 (magenta).

Özyineleme

Aşağıda Hermit polinomlarının özyineleme ilişkisi,Hermite fonksiyonlarına uyar

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

yanı sıra

${\displaystyle x\;\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

Cramér eşitsizliği

Aşağıda Hermite fonksiyonlarını karşılayan ilişkisi Harald Cramér^[5][6]

${\displaystyle |\psi _{n}(x)|\leq K\pi ^{-1/4}}$

gerçek x için,burada K sabit ve 1.086435'dan küçüktür.

Fourier dönüşümünün Hermit fonksiyonu özdeğerleri

sürekli Fourier dönüşümü'nün özdeğerler kümesi Hermit fonksiyonu ${\displaystyle {\psi }_{n}(x)}$dur.Burada,üreteç fonksiyonunun fizikçi versiyonu alınır ve exp(−x ²/2) ile çarpılır. şunu verir

${\displaystyle \exp(-x^{2}/2+2xt-t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-x^{2}/2)H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\,\!}$

Fourier dönüşümünün birimsel gösterimi seçimi, sol tarafının Fourier dönüşümü tarafından verilen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\exp(-x^{2}/2+2xt-t^{2})\}(k)&{}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-ixk)\exp(-x^{2}/2+2xt-t^{2})\,\mathrm {d} x\\&{}=\exp(-k^{2}/2-2kit+t^{2})\\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-k^{2}/2)H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Sağ tarafında Fourier dönüşümü tarafından verilen

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-x^{2}/2)H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{\exp(-x^{2}/2)H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.\,}$

sol- ve sağ-tarafta verilen dönüşüm versiyonunun t katına eşit

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\exp(-x^{2}/2)H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}\exp(-k^{2}/2)H_{n}(k).\,\!}$

Hermit fonksiyonu ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ burada L²(R)'nin ortonormal bazında diyagonalleştirilmiş Fourier dönüşüm operatörüdür.Fourier dönüşümünün birim versiyonu seçimi durumunda özdeğer'ler  (−i) ⁿ dir.

Katsayıların Kombinatoryal yorumlanması

Hermite polinomları içinde He_n(x) varyansı 1 için,x^k katsayısının mutlak değeri(sırasız) k tekil ve (n − k)/2 (sırasız) çiftlerinin içinde n-üyeli küme bölümlerinin sayısıdır. Katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı tekil ve çift bölümlerin toplam sayısını verir,ve sözde telefon numarası olarak adlandırılır

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (OEIS'de A000085 dizisi).

Bu rakamlar,aynı zamanda Hermite polinomların özel bir değer olarak ifade edilebilir

${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathop {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$^[7]

Tamlık ilişkisi

Hermite polinomlarının okunması için Christoffel–Darboux formulü

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {H_{i}(x)H_{i}(y)}{i!2^{i}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$

Ayrıca, aşağıdaki özdeşlik dağılım duyarlılığıdır.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$

burada δ Dirac delta fonksiyonu'dur, (ψ_n) the Hermite fonksiyonudur, ve R²'de y = x doğrusu için Lebesgue ölçümü'nün gösterimi δ(x − y)'dir ,böylece yatay eksen izdüşümünün normalizasyonu olağan Lebesgue ölçümüdür.Mehler's formülü içindeu → 1 için bu özdeşliğin dağılımsal özelliği aşağıda ,−1 < u < 1 olduğunda geçerli:

${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\mathrm {exp} \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}\,-\,{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$

aşağıdaki sıklıkta eşdeğerlik belirtilmektedir

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\mathrm {e} ^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$

Gaussian ölçümü için yoğunluk R² de (x, y → E(x, y; u) dir., eğer u 1 yakınlığındaysa, y = x doğrusu çevresinde çok yoğun,ve sıklıkla bu hat üzerinde serpilmiştir.. Aşağıda

${\displaystyle \left\langle \left(\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}\right),g\right\rangle =\int \int E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\rightarrow \int f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x=\langle f,g\rangle ,}$

ƒ, g sürekli ve sıkışık destekliyse,Hermit fonksiyonundan ƒgösterimi ile yararlanılabilir, L²(R) içinde vektörler serisinin toplamı, yani

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$

E(x, y; u) için yukarıdaki eşitlik kanıtlamak için,Gaussian fonksiyon'un Fourier dönüşümü'dür. birkaç sıra sonra,

${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}x^{2}/4}=\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/\rho ^{2}}\,\mathrm {d} s,\quad \rho >0.}$

sonra Hermite polinomu olarak ifade edilir

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\Bigl (}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s{\Bigr )}=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}\,\mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s.}$

H_n(x) ve H_n(y)'in gösterimi ile ve tek bir ifade olduğu görülür.

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)\,\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}{\Bigr )}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int \mathrm {e} ^{-ust/2}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}$

ve bu yerine koyma gerçekleştirildikten sonra tekrar Gauss çekirdeğinin Fourier dönüşümü kullanılarak, istenilen sonucu gösterilebilir.

${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\qquad \qquad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$

Mehler formulünün tamlık kanıtı N.Wiener çifti ileThe Fourier integral and certain of its applications içindedir. Cambridge Univ. Press 1933 reprinted Dover 1958

Ayrıca bakınız

• Mehler çekirdeği
• Kibble–Slepian formülü
• Turan eşitsizliği

Notlar

1. C. Hermite: Sur un nouveau développment en série de fonctions C. R Acad. Sci. Paris 58 1864 93-100; Oeuvres II 293-303
2. P.L.Chebyshev: Sur le développment des fonctions a une seule variable Bull. Acad. Sci. St. Petersb. I 1859 193-200;Oeuvres I 501-508
3. Abramowitz, p. 508-510, 13.6.38 and 13.5.16
4. Szegő 1939, 1955, s. 201
5. Erdélyi et al. 1955, s. 207
6. Szegő 1939, 1955
7. Banderier, Cyril; Bousquet-Mélou, Mireille; Denise, Alain; Flajolet, Philippe; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generating functions for generating trees", Discrete Mathematics 246 (1-3): 29–55, arXiv:math/0411250, DOI:10.1016/S0012-365X(01)00250-3, MR 1884885 .

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ed. (1983). "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first bas.). Washington D.C., USA; New York, USA: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. s. 773. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 6512253-{{{3}}}. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm. 
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill  (scan)
• Şablon:Eom.
• Şablon:Dlmf
• Laplace, P.S. (1810), Mém. Cl. Sci. Math. Phys. Inst. France 58: 279–347 
• Şablon:Eom.
• Szegő, Gábor (1939, 1955), Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society 
• Wiener, Norbert (1958), The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962), 4th Edition, ed., A Course of Modern Analysis, London: Cambridge University Press 
• Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial (MathWorld)
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews