Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}$

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tamsayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$

L₀, L₁, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}$

Diğer önemli her bir iç çarpım ortogonal polinomlar tarafından verilir.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım , n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}$
6	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$

ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

${\displaystyle L_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,}$

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).}$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rastgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

buradan

${\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.}$

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için ,α > −1,

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}$

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

• melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
  • ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,}$ ${\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)}$${\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)}$${\displaystyle =e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.}$
  • Eğer ${\displaystyle n}$ bir tamsayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi ${\displaystyle n}$. alternaif bir ifade ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$ içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir .
• Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi ${\displaystyle n}$ ise ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$ ( diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
  • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}$

${\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}$

${\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}$

• • ilk terimleri is (−1)ⁿ/n! katsayı'sıdır;
  • ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};}$ merkezindeki değer sabit terim'dir.
• hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bunula beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

  function LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    for i:= 1 to n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  return LaguerreL;
 }

• L_{n^(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ bir Sturm zinciri'dir), bütün ${\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]}$ aralık'ı içindedir .}
• ${\displaystyle n}$'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı ${\displaystyle \alpha }$ sabit ve ${\displaystyle x>0}$, verilirse,

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)}$, and

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)}$.^[1].

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
• George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.

1. Abramowitz, p. 506, 13.3.8