Doğrusal cebir

Üç-boyutlu Öklid uzayı R³ bir vektör uzayıdır ve orijinden doğru ve düzlem yoluyla R³ vektör altuzayından geçiş

Doğrusal cebir ya da Lineer cebir; Matematiğin, yöneyler (vektör), yöney uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve dizeyleri (matris) inceleyen alanıdır. Yöney uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann Die lineale Ausdehnungslehre adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan dizeyleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

Temelleri

Doğrusal cebirin temelleri yöneylerin incelenmesinde yatar. Burda sözü edilen yöney, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır. Yöneyler vektör olarak da bilinir. Yöneyler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel yöney uzayının oluşumu gösterilebilir.

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki her bir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, dizey cebiriyle ifade ettikten sonra onu dizey işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem dizgeleri (sistem) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

Yöneyler ve Dizeyler

Aşağıda üç boyutlu bir sütun yöneyi görülmektedir:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\7\\2\end{pmatrix}}}$

Burada ise 4 boyutlu bir satır yöneyini görmekteyiz:

${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}4&6&3&7\end{pmatrix}}}$

Son olarak 4 satır ve üç sutundan oluşan bir dizey örneğini şöyle gösterebiliriz:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}8&2&9\\4&8&2\\8&3&7\\5&9&1\end{pmatrix}}}$

Çalışmanın kapsamı

Vektör uzayları

vektor uzayı doğrusal cebirin ana yapısıdır.Bir F alanı üzerinde bir vektör uzayı bir V kümesi ile birlikte iki ikili işlemdir.Vnin ögelerine vektör ve F in ögelerine skaler denir. .^[1] Aşağıdaki listede diyelimki u, v ve w be V içinde keyfi vektörler , ve a ve b in F içinde skalerler olsun.

Aksiyom	Açıklaması
toplamanın bileşimi	u + (v + w) = (u + v) + w
toplamanın değişimi	u + v = v + u
toplamaya göre etkisiz eleman	Burada 0 ∈ V ögesi var, sıfır vektör denir, böylece her v ∈ V için v + 0 = v.
toplamaya göre ters eleman	her v ∈ V için, burada bir −v ∈ V ögesi var, vnin toplamsal tersi denir , böylece v + (−v) = 0
vektör toplamının skaler çarpım üzerinde Dağılma özelliği	a(u + v) = au + av
sıralı alan toplamının skaler çarpımın üzerinde dağılması	(a + b)v = av + bv
Alan çarpımı ile skaler çarpımı eşitliği	a(bv) = (ab)v [nb 1]
skaler çarpımın etkisiz elemanı	1v = v, burada 1 F içinde çarpmaya göre etkisizdir.

Doğrusal dönüşümler

Verilen bir F alanı üzerinde V ve W iki vektör uzayı, bir doğrusal dönüşüm (ayrıca doğrusal gönderme, doğrusal gönderim veya doğrusal işlemci) bir göndermedir

${\displaystyle T:V\to W}$

bu toplam ve skaler çarpım ile uyumlandırılabilir:

${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)}$

u,v ∈ V herhangi iki vektör ve bir skaler a ∈ F için.

toplanabilir herhangi iki vektör u, v ∈ V ve skaler a, b ∈ F için:

${\displaystyle \quad T(au+bv)=T(au)+T(bv)=aT(u)+bT(v)}$

Altuzay, germe ve taban

Yine diğer cebirsel nesnelerin teorileri ile analog olarak, lineer cebir vektör uzaylarının kendileri vektör alanlarının altkümeleriyle ilgilenmektedir, bu alt kümeler doğrusal alt uzayı olarak adlandırılır. Örneğin, aralık ve doğrusal bir eşleme bölgesinin hem çekirdek hem de alt uzayları vardır ve bu nedenle sık sık aralık alanı olarak adlandırılır ve boşuzay; bu altuzayların önemli örneklerdir. Bir altuzayı oluşturmanın bir diğer önemli yolu da doğrusal kombinasyona almaktır, v₁, v₂, …, v_k vektörlerinin bir kümesi:

${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{k}v_{k},}$

burada a₁, a₂, …, a_k skalerlerdir.Vektörlerinin doğrusal tüm bileşimlerinin kümesi v₁, v₂, …, v_k buna germe denir, bunun bir altuzay formudur.

Tüm sıfır katsayısı ile vektörlerinin herhangi bir sisteminin bir lineer kombinasyonu V sıfır vektörüdür.Bu lineer bir kombinasyonu olarak sıfır vektör ifade etmek için tek yoldur v₁, v₂, …, v_k ise bu vektörler doğrusal bağımsızdır.Verilen bir vektörler kümesinin bu vektörlerinin bir uzay gerimi, eğer herhangi vektör w diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu(ve böylece kümeleri doğrusal bağımsız değildir), ise biz eğer w kümesinden germeyi kaldırırsak aynı kalacaktır. Böylece, doğrusal bağımlı vektörlerin kümesi bir doğrusal bağımsız alt kümesi aynı alt uzayı kapsar anlamında gereksizdir. Bu nedenle, bir vektör uzayı V yi geren vektörlerin lineer bağımsız kümesinin içinden daha çok ilgiliyiz, buna Vnin tabanı deriz. Vektörlerin herhangi kümesi that spans Vnin gerilmiş bir tabanını içerir, ve V içindeki vektörlerin herhangi doğrusal bağımsız kümesi bir tabana gerilebilir(yayılabilir).^[2] Bu çıkıyor ki biz seçim aksiyomu olarak kabul edersek, her vektör uzayının bir tabanı var;^[3] yine de, bu doğal olmayan baz olabilir, ve gerçekten de, hatta constructable olmayabilir. Örneğin, burada Kesirli üzerinde bir vektör alanı olarak kabul edilen reel sayılar için bir temel var, ama hiçbir açık temel inşa edilmemiştir.

V vektör uzayının herhangi iki tabanı aynı kardinalitesi varsa, buna Vnin boyutu denir. Bir vektör uzayının boyutu vektör uzayı için boyut teoremi ile iyi-tanımlıdır. Eğer Vnin bir tabanı ögelerin sonlu sayısı varsa, V ye bir sonlu-boyutlu vektor uzayı denir. Eğer V sonlu-boyutludur ve U Vnin bir altuzayıdır, ise dim U ≤ dim V.Eğer U₁ ve U₂ Vnin altuzayı, ise

${\displaystyle \dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2})}$.^[4]

Bir çoğu sonlu boyutlu vektör alanlarına önemi sınırlar. Lineer cebir temel bir teoremi aynı boyutun tüm vektör uzaylarının izomorf olduğunu belirtiyor,^[5] esyapının karakterize edilmesi için bir kolay bir yol verir.

Ayrıca bakınız

• Özvektörler
• Bilgisayarlı görü içinde Temel matris
• Doğrusal gerileme, Bir istatistiksel kestirim yöntemi
• Doğrusal cebir konuların listesi
• Sayısal doğrusal cebir
• Simpleks yöntemi, doğrusal programlar için teknik birçözüm
• Dönüşüm matrisi

Notlar

1. Şablon:Harvard citations
2. Axler (2004), pp. 28–29
3. The existence of a basis is straightforward for countably generated vector spaces, and for well-ordered vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
4. Axler (2204), p. 33
5. Axler (2004), p. 55

1. Bu aksiyom bir işlemin bileşimi varsayımı değildir,burada sorun içinde iki işlem, skaler çarpım: bv; ve alan çarpımı: ab.

İleri okuma

Tarih

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" (), American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

tanıtım ders kitapları

• Bretscher, Otto (June 28, 2004), Linear Algebra with Applications (3rd bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0 
• Farin, Gerald; Hansford, Dianne (December 15, 2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2 
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (November 11, 2002), Linear Algebra (4th bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-008451-4 
• Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra, http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th bas.), Wiley International 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd bas.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Kolman, Bernard; Hill, David R. (May 3, 2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th bas.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8 
• Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd bas.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2 
• Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st bas.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9 
• Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd bas.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0 
• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th bas.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 

ileri ders kitapları

• Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd bas.), Springer, ISBN 978-0-387-98258-8 
• Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 
• Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3 
• Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6 
• Gantmacher, F.R. (2005, 1959 edition), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0 
• Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd bas.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8 
• Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd bas.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5 
• Gelfand, I. M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0 
• Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3 
• Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd bas.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5 
• Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd bas.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th bas.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (April 25, 1971), Linear Algebra (2nd bas.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-536797-1 
• Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 
• Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd bas.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6 
• Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
• Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7 
• Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd bas.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3 
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9, http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9 
• Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7 
• Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2 
• Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1 

Çalışma kılavuzları ve anahatları

• Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6 
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd bas.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9 
• Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3 
• McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3 
• Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0 

Dış bağlantılar

Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var:

Linear Algebra

• International Linear Algebra Society
• MIT Professor Gilbert Strang's Linear Algebra Course Homepage : MIT Course Website Kursu
• MIT Linear Algebra Lectures: MIT OpenCourseWare dan videolar
• Linear Algebra - Foundations to Frontiers EDX tarafından açılacak özgür MOOC
• Linear Algebra Toolkit.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Linear algebra", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/l059040.htm 
• Linear Algebra on MathWorld.
• Linear Algebra tutorial interaktif çevrimiçi programları ile.
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Linear Algebra Elmer G. Wiens.tarafından vektörler, matrisler, lineer denklem için etkileşimli web sayfaları
• Linear Algebra Solved Problems: Düşük seviyeden zor seviyeye doğrusal cebir problemlerinin tartışılması için interaktif forumlar(Putnam).
• Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
• Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University
• Elementary Linear Algebra textbook with solutions
• Linear Algebra Wiki
• Linear algebra (math 21b) homework and exercises
• Textbook and solutions manual, Saylor Vakfı.
• An Intuitive Guide to Linear Algebra on BetterExplained

Çevrimiçi Kitaplar

• Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
• Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
• Hefferon, Jim, Linear Algebra
• Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
• Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong
• Bayramlı, B., Lineer Cebir