Liouville sayısı

Sayılar teorisinde, Liouville sayıları rasyonel sayılara infinitesimal yakınlıkta (hatta paydaya bağımlı şekilde) irrasyonel sayılardır. Bir Liouville sayısının her komşuluğunda bir rasyonel sayı (iki tamsayının oranı şeklinde yazılabilecek sayı) vardır. Şu şekilde formüle edilebilir:

${\displaystyle x}$ bir Liouville sayısı olsun. O zaman her ${\displaystyle n}$ sayma sayısı (pozitif tam sayı) için öyle bir tamsayı ${\displaystyle p}$ ve sayma sayısı ${\displaystyle q}$ vardır ki,

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

Bir Liouville sayısı böylece "çok yakından" rasyonel sayıların bir dizisi ile yakınsanabilir. 1844'te, Joseph Liouville gösterdi ki tüm Liouville sayıları aşkın sayılardır. O zamana dek herhangi bir aşkın sayının varlığı henüz ispatlanmamıştı. Liouville, bir sayı tabanı için (örneğin 10) Liouville sabitlerini aşağıdaki gibi üretti. Her Liouville sabiti, bir Liouville sayısıdır, dolayısıyla aşkındır.

Liouville sayıları kümesi bir yandan büyüktür, sayılamaz sayıda (reel sayılar kadar) Liouville sayısı vardır; bir yandan da küçüktür, Lebesgue ölçüleri sıfırdır, dolayısıyla bu küme üzerinde integrallenebilir her pozitif fonksiyonun integrali sıfıra eşittir.

Liouville sabiti

${\displaystyle b\geq 2}$ bir tam sayı olsun. $b$ tabanındaki Liouville sabiti ${\displaystyle x}$ aşağıdaki gibi tanımlanır.

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\;}$

Örneğin on tabanında ${\displaystyle x=0.110001000000000000000001000...\;.}$ (1., 2., 6., 24., 120., 720., ... basamakta 1 rakamı var (OEIS'de A000142 dizisi))

Liouville sabiti aşağıda ispatlandığı gibi bir Liouville sayısıdır. ${\displaystyle n}$ bir sayma sayısı olsun. Şimdi uygun ${\displaystyle \,p,\,q}$ sayılarını bulmamız gerekiyor.

${\displaystyle q=b^{n!}}$ ve ${\displaystyle p=q\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{b^{k!}}}}$ için

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q}^{n}}}\,}$. QED

Sayılamazlık

Örnek için bu sayıları düşünelim,

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 sıfır)1(17 sıfır)5(95 sıfır)9(599 sıfır)2... burada rakamlar π'nin ondalık açılımı içinde ondalık noktaların ninci rakamı burada n! rakamına eşit konumu içinde sıfır varlığıdır .

Liouville sayılarının varlığı üzerindeki kesiti içinde gösterilen, bu sayılar, hem de başka bir sonlanamayan ondalık sıfır-dışı rakamlarla benzer durulardır ve bir Liouville sayılarının tanımı doyurucudur. Bu nedenle boş-olmayan rakamların tüm dizilerinin kümesi has the sürekliliğinin önem düzeyi aynı oluşan şey tüm Liouville sayılarının kümesinde var.

Dahası, Liouville sayıları gerçek sayıların kümesinin yoğun altküme formudur.

Liouville sayıları ve ölçümü

Ölçüm teorisinin bakış açısından,tüm Liouville sayıları Lin kümesi küçüktür. Daha kesin bir ifadeyle, onun Lebesgue ölçümü sıfırdır. John C. Oxtoby tarafından bazı fikirler aşağıda kanıt olarak verilmiştir.^[1]:8

pozitif n > 2 tamsayıları veq ≥ 2 kümesi:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

elimizde olan

${\displaystyle L\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Araştırılan her pozitif n ≥ 2 vem ≥ 1 tamsayı için , ayrıca elimizde olan

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Nedeniyle

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

ve n > 2 ile

${\displaystyle m(L\cap (-m,\,m))\leq \sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.}$

Şimdi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

ve onun aşağıda bu her pozitif tamsayısı m için, L ∩ (−m, m) Lebesgue ölçümü sıfırdır. Kanıt için, böylece L vardır.

Karşıt olarak, tüm gerçek aşkın sayıların T kümesinin Lebesgue ölçümü sonsuzdur (bu nedenle T bir boş kümenin tamamlayıcısıdır).

Aslında, LinHausdorff boyutu sıfırdır, bu Lin bu Hausdorff ölçümü ifadesi tüm dimension d > 0 boyutlar için sıfırdır.^[1] Hausdorff dimension of L under other dimension functions has also been investigated.^[2]

Ayrıca bakınız

• Diofantin yaklaşıklığı

Kaynaklar

1. Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category. Graduate Texts in Mathematics. 2 (2nd bas.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90508-1. 
2. L. Olsen and Dave L. Renfro (February 2006). "On the exact Hausdorff dimension of the set of Liouville numbers. II". Manuscripta Mathematica 119 (2): 217–224. DOI:10.1007/s00229-005-0604-z. 

• Bugeaud, Yann (2012) (İngilizce). Distribution modulo one and Diophantine approximation. 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl pre06066616. 

Dış bağlantılar

• The Beginning of Transcendental Numbers
• The least interesting number