Planck kütlesi

Fizikte Planck kütlesi (m_P), Planck birimleri olarak bilinen doğal birimler sisteminde kütle birimidir.

Planck kütlesi şöyle ifade edilir:

${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$≈ 1.2209×10¹⁹ GeV/c² = 2.17651(13)×10⁻⁸ kg, (veya 21.7651 μg).^[1]

Burada c : bir vakumdaki ışık hızı, G : yerçekimi sabiti; ve ħ : Planck sabitidir.

Parçacık fiziğinde ve fiziksel evrenbiliminde azalan Planck kütlesi sık kullanılır ve değeri;

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\hbar {}c}{8\pi G}}}}$ ≈ 4.341×10⁻⁹ kg = 2.435 × 10¹⁸ GeV/c²'dir.

Genel görelilikte, eklenen ${\displaystyle 1/{\sqrt {8\pi }}}$ faktörü denklemlerin sayısını basitleştirir.

Planck kütlesi adı, Max Planck onuruna verildi. Birimi, kuantum etkisindeki yaklaşık ölçeği ölçer. Burada kütleçekimden dolayı önem arz eder. Kuantum etkileri normalde, ${\displaystyle h=2\pi \hbar }$ Planck sabiti büyüklüğü ile ifade edilir.

Anlamı

Planck kütlesi, Schwarzschild yarıçapının Planck uzunluğuna eşit olduğu ufacık kara delik varsayımına göre Planck parçacığının yaklaşık kütlesidir.

Diğer tüm temel Planck birimleri ve türetilen Planck birimlerinin çoğunun aksine, Planck kütlesi insanın az veya çok hayal edebileceği bir ölçeğe sahiptir. Planck kütlesi, geleneksel olarak bir pirenin kütlesine yaklaşık olarak eşittir denilir, fakat aslında bir pire yumurtasının kütlesine yaklaşık eşit olduğunu söylemek daha uygun olur.

Planck kütlesi, kütle mekaniğini açıklamak için, genel görelilik ve kuantum mekaniği esasları aynı anda önemli olduğunda kuantum kütleçekimi için özel bir tanımla idealleştirilir.

Türetilmesi

Boyut analizi

Planck kütlesinin formülü boyut analizi ile türetiler. Bu yaklaşımda ħ, c ve G üç fiziksel sabitinde başlanır ve kütlenin birimi olarak büyüklüğü elde etmeye çalışılır. Formülün şöyle olduğu kabul edilir;

${\displaystyle m_{\text{P}}=c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}},}$

Burada ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$, her bir taraftaki boyutlarla eşleşen sabitler olarak tanımlanır. L, uzunluk; T, zaman; M kütle sembolüdür ve bazı x fiziksel niceliklerin boyutları için "[x]" yazılır. Böylece ifadeler şöyle olur:

${\displaystyle [c]=LT^{-1}\ }$

${\displaystyle [G]=M^{-1}L^{3}T^{-2}\ }$

${\displaystyle [\hbar ]=M^{1}L^{2}T^{-1}\ }$.

Buradan,

${\displaystyle [c^{n_{1}}G^{n_{2}}\hbar ^{n_{3}}]=M^{-n_{2}+n_{3}}L^{n_{1}+3n_{2}+2n_{3}}T^{-n_{1}-2n_{2}-n_{3}}}$

Eğer kütlenin boyutlarını elde etmek için, şu denklemler kullanılır:

${\displaystyle -n_{2}+n_{3}=1\ }$

${\displaystyle n_{1}+3n_{2}+2n_{3}=0\ }$

${\displaystyle -n_{1}-2n_{2}-n_{3}=0\ }$.

Bu sistemin çözümü şöyledir:

${\displaystyle n_{1}=1/2,n_{2}=-1/2,n_{3}=1/2.\ }$

Böylece Planck kütlesi şöyle olur:

${\displaystyle m_{\text{P}}=c^{1/2}G^{-1/2}\hbar ^{1/2}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}.}$

Eşleşme sabitinin elenmesi

Planck kütlesinin eşdeğeri, ayrı iki kütle arasındaki kütleçekim potansiyel enerjisi şöyle ifade edilir.

${\displaystyle E={\frac {Gm_{\text{P}}^{2}}{r}}={\frac {\hbar c}{r}}}$

Burada; m_P, ayrı kütle; r, r açısal dalga boyundaki bir fotonun enerjisidir ve oranları bire eşittir. Burada sadeleştirme yapılırsa;

${\displaystyle Gm_{\text{P}}^{2}=\hbar c}$

Bu denklemde, enerji çarpı uzunluk ${\displaystyle \hbar c}$ değerine eşittir. Bu eşitliğe Planck birimleri türetilmesinde sıkça rastlanır. İki nicelik kendi oranları olan bire eşittir. Buradan, denklemin sisteme uygun olması için kütleyi elemek kolaydır:

${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$

İkinci denklemde Planck kütleleri yerine elektron kütlesi kullanıldığında denklem artık bütünlük arz etmez ve kütleçekim eşleşme sabiti olur.

Compton dalga boyu ve Schwarzschild yarıçapı

Compton dalga boyu ile Schwarzschild yarıçapının yaklaşık olarak eşit olduğu varsayılarak Planck kütlesi türetilebilir.^[2] Kaba ifade ile, kuantum etkilerinin bir parçacık için önem arz etmeye başladığı anda parçacığın şiddeti Compton dalga boyundan daha küçük olur. Schwarzschild yarıçapı, kara delik kadar olan bir kütlenin yarıçapıdır. Eğer bir parçacık yeteri kadar kütleye sahip olursa, parçacığın Compton dalga boyu Schwarzschild yarıçapına yaklaşık olarak eşit olur ve dinamiği kuantum kütleçekimine etki eder. Bu kütle yaklaşık olarak Planck kütlesine eşit olur.

Compton dalga boyu ifadesi şöyledir:

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{mc}}}$

Schwarzschild yarıçapı ifadesi de şöyledir:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Burada kütleler eşitlenirse:

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {hc}{2G}}}={\sqrt {\frac {\pi c\hbar }{G}}}}$

Bu tam olarak Planck kütlesi değildir: ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ faktörü daha büyüktür. Yinede bu deneysel bir türetilmiştir ve yalnızca uygun büyüklüğü elde etmek için kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Planck uzunluğu
• Planck parçacığı

Referanslar

1. CODATA 2010: value in GeV, value in kg
2. The riddle of gravitation by Peter Gabriel Bergmann, page x

Kaynaklar

1. Sivaram C. WHAT IS SPECIAL ABOUT THE PLANCK MASS? PDF
2. Johnstone Stoney, Phil. Trans. Roy. Soc. 11, (1881)

Dış bağlantılar

• The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty